Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ par $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ par $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Étape 1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})}$ comme ${(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.4

Convertissez de $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ à $\csc (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.5

Annulez le facteur commun de $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

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Étape 1.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (V) + V$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \csc^{2} (V) + V$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + V - V$

Étape 6.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans $\csc^{2} (V) + V - V$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + 0$

Étape 6.1.1.1.2.2

Additionnez $\csc^{2} (V)$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\csc^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc^{2} (V)} \cdot \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Associez.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

Étape 6.1.3.2

Annulez le facteur commun de $\csc^{2} (V)$ .

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Étape 6.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

Étape 6.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)}$ comme ${(\frac{1}{\csc (V)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\csc (V)})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.3

Réécrivez $\csc (V)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (V)}$ .

$\int {(1 \sin (V))}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.5

Multipliez $\sin (V)$ par $1$ .

$\int \sin^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (V)$ en $\frac{1 - \cos (2 V)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 V)}{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $V$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int d V + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $V$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Laissez $u = 2 V$ . Alors $d u = 2 d V$ , donc $\frac{1}{2} d u = d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.7.1

Laissez $u = 2 V$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.7.1.1

Différenciez $2 V$ .

$\frac{d}{d V} [2 V]$

Étape 6.2.2.7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $2 V$ par rapport à $V$ est $2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V]$

Étape 6.2.2.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.2.2.7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.2.2.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.8

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.10

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.11

Simplifiez

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 V$ .

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (2 V)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.13

Simplifiez

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Étape 6.2.2.13.1

Associez $\sin (2 V)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (V - \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} V + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.13.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $V$ .

$\frac{V}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.13.4

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2})$ .

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Étape 6.2.2.13.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 V)}{2}$ .

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.13.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) = \ln (| x |) + C$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Étape 8

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Étape 8.1.2

Associez $2$ et $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (\frac{2 y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Étape 8.1.3

Associez $\sin (\frac{2 y}{x})$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{\sin (\frac{2 y}{x})}{4} = \ln (| x |) + C$