Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} (y + 1) d y - (x + 1) (y d) x = 0$

Étape 1

Ajoutez $(x + 1) y d x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} (y + 1) d y = (x + 1) y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2} (y)} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} (y + 1) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} ((x + 1) y) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $(x + 1) y$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} (y (x + 1)) d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} (y (x + 1)) d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2}} (x + 1) d x$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $x + 1$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.6

Simplifiez

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.3.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Étape 4.3.2

Multipliez $(x + 1) x^{- 2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ .

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Étape 4.3.3.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 4.3.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 4.3.3.1.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Étape 4.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int x^{- 2} d x$

Étape 4.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - x^{- 1} + C_{5}$

Étape 4.3.7

Simplifiez

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{6}$

Étape 4.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$