Calcul infinitésimal Exemples

$y d x = (y e^{y} - 2 x) d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $(y e^{y} - 2 x) d y$ des deux côtés de l’équation.

$y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (y e^{y} - 2 x)$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y e^{y} - 2 x)]$

Étape 3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (y e^{y} - 2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y e^{y} - 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y e^{y} - 2 x]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y e^{y} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.4

Comme $y e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y e^{y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 3.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1$

Étape 3.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2$ .

$1 = 2$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 = 2$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ .

$\frac{2 - 1}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $y$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $y$ .

$\frac{2 - 1}{y}$

Étape 5.3.2

Remplacez $M$ par $y$ .

$\frac{1}{y}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Étape 6.1

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Étape 6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.2.1

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Étape 6.2.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | y | + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$ par le facteur d’intégration $y$ .

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Étape 7.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y \cdot y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

Étape 7.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $- (y e^{y} - 2 x)$ par $y$ .

$y^{2} d x - (y e^{y} - 2 x) y d y = 0$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} d x + (- (y e^{y}) - (- 2 x)) y d y = 0$

Étape 7.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y^{2} d x + (- y e^{y} + 2 x) y d y = 0$

Étape 7.6

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} d x + (- y e^{y} y + 2 x y) d y = 0$

Étape 7.7

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.7.1

Déplacez $y$ .

$y^{2} d x + (- (y \cdot y) e^{y} + 2 x y) d y = 0$

Étape 7.7.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} d x + (- y^{2} e^{y} + 2 x y) d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = y^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = y^{2} x + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{2} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Étape 12.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 13.1.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y - 2 x y$

Étape 13.1.2

Associez les termes opposés dans $- y^{2} e^{y} + 2 x y - 2 x y$ .

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Étape 13.1.2.1

Soustrayez $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 0$

Étape 13.1.2.2

Additionnez $- y^{2} e^{y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $- y^{2} e^{y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} e^{y} d y$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{2} e^{y} d y$

Étape 14.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int y^{2} e^{y} d y$

Étape 14.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y^{2}$ et $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - \int e^{y} (2 y) d y)$

Étape 14.5

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - (2 \int e^{y} (y) d y))$

Étape 14.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 \int e^{y} (y) d y)$

Étape 14.7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - \int e^{y} d y))$

Étape 14.8

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$

Étape 14.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.9.1

Réécrivez $- (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$ comme $- (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$

Étape 14.9.2

Simplifiez

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Étape 14.9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (y) = - (y^{2} e^{y}) - (- 2 y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

Étape 14.9.2.2

Simplifiez

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Étape 14.9.2.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

Étape 14.9.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - 2 e^{y} + C$

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$