Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 1 - y$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d y}{d x} = 1 - y$ par $x^{2}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d y}{d x} = 1 - y$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- y}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- y}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- y}{x^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{x^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{x^{2}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $1 - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Laissez $u = 1 - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 1 - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $- x^{- 1} + C_{2}$ comme $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = - \frac{1}{x} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 1 - y |) = - \frac{1}{x} + C$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 1 - y |) = - \frac{1}{x} + C$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $\ln (| 1 - y |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (| 1 - y |) = \frac{\frac{1}{x}}{1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Divisez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{1}{x} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{1}{x} - 1 \cdot C$

Étape 3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{1}{x} - C$

Étape 3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 - y |)} = e^{\frac{1}{x} - C}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| 1 - y |) = \frac{1}{x} - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{x} - C} = | 1 - y |$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 - y | = e^{\frac{1}{x} - C}$ .

$| 1 - y | = e^{\frac{1}{x} - C}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - y = \pm e^{\frac{1}{x} - C}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm e^{\frac{1}{x} - C})$ comme $- (\pm e^{\frac{1}{x} - C})$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} + C}) + 1$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{\frac{1}{x} + C}$ comme $e^{\frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x}} e^{C}) + 1$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{1}{x}}$ et $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{\frac{1}{x}}) + 1$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = - (C e^{\frac{1}{x}}) + 1$