Calcul infinitésimal Exemples

$(e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)) d x + (e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{x} \sin (y)$ par rapport à $y$ est $e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cos (y) + \frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 2 \sin (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y \sin (x)$ par rapport à $y$ est $- 2 \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x) \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (y)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\cos (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e^{x} \cos (y)$ par rapport à $x$ est $\cos (y) \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) e^{x} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) e^{x} + 2 (- \sin (x))$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) e^{x} - 2 \sin (x)$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x) = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x) = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int e^{x} \cos (y) d y + \int 2 \cos (x) d y$

Étape 5.2

Comme $e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , placez $e^{x}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = e^{x} \int \cos (y) d y + \int 2 \cos (x) d y$

Étape 5.3

L’intégrale de $\cos (y)$ par rapport à $y$ est $\sin (y)$ .

$f (x, y) = e^{x} (\sin (y) + C) + \int 2 \cos (x) d y$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = e^{x} (\sin (y) + C) + 2 \cos (x) y + C$

Étape 5.5

Simplifiez

$f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (y)]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $\sin (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e^{x} \sin (y)$ par rapport à $x$ est $\sin (y) \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\sin (y) e^{x} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x) y]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x) y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sin (y) e^{x} + 2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Étape 8.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\sin (y) e^{x} + 2 y (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Étape 8.4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sin (y) e^{x} - 2 y \sin (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) e^{x} - 2 y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Étape 8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x) = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $e^{x} \sin (y)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - 2 y \sin (x) = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x) - e^{x} \sin (y)$

Étape 9.1.2

Ajoutez $2 y \sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x) - e^{x} \sin (y) + 2 y \sin (x)$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x) - e^{x} \sin (y) + 2 y \sin (x)$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $e^{x} \sin (y)$ de $e^{x} \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y \sin (x) + 0 + 2 y \sin (x)$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $- 2 y \sin (x)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y \sin (x) + 2 y \sin (x)$

Étape 9.1.3.3

Additionnez $- 2 y \sin (x)$ et $2 y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Étape 10

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Étape 10.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Étape 10.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (x) = C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + C$

Étape 12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + C$ .

$f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 y \cos (x) + C$