Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 3 x^{3} e^{- 3 x}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 3$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 3 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{3 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{3 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{3 x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (3 x^{3} e^{- 3 x})$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (3 x^{3} e^{- 3 x})$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 e^{3 x} (x^{3} e^{- 3 x})$

Étape 2.4

Multipliez $e^{3 x}$ par $e^{- 3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $e^{- 3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 (e^{- 3 x} e^{3 x}) x^{3}$

Étape 2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 e^{- 3 x + 3 x} x^{3}$

Étape 2.4.3

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 e^{0} x^{3}$

Étape 2.5

Simplifiez $3 e^{0} x^{3}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 x^{3}$

Étape 2.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 x^{3}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 x^{3}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 3 x^{3}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 3 x^{3} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{3 x} y = \int 3 x^{3} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 x} y = 3 \int x^{3} d x$

Étape 6.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{3 x} y = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 6.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ comme $3 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$e^{3 x} y = 3 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Étape 6.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} x^{4} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{3 x} y = \frac{3}{4} x^{4} + C$ par $e^{3 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{3 x} y = \frac{3}{4} x^{4} + C$ par $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{3 x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{4}$ .

$y = \frac{\frac{3 x^{4}}{4}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{3 x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.3

Associez.

$y = \frac{3 x^{4} \cdot 1}{4 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$y = \frac{3 x^{4}}{4 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$