Calcul infinitésimal Exemples

$3 \frac{d y}{d θ} + \sin (θ) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d θ}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $\sin (θ)$ des deux côtés de l’équation.

$3 \frac{d y}{d θ} = - \sin (θ)$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $3 \frac{d y}{d θ} = - \sin (θ)$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $3 \frac{d y}{d θ} = - \sin (θ)$ par $3$ .

$\frac{3 \frac{d y}{d θ}}{3} = \frac{- \sin (θ)}{3}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \frac{d y}{d θ}}{3} = \frac{- \sin (θ)}{3}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d θ}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d θ} = \frac{- \sin (θ)}{3}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d θ} = - \frac{\sin (θ)}{3}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = - \frac{\sin (θ)}{3} d θ$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - \frac{\sin (θ)}{3} d θ$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{\sin (θ)}{3} d θ$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sin (θ)}{3} d θ$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $θ$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \sin (θ) d θ)$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \cos (θ)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (- \cos (θ) + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Simplifiez

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (- \cos (θ)) + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 (\frac{1}{3}) \cos (θ) + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cos (θ) + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $\cos (θ)$ .

$y + C_{1} = \frac{\cos (θ)}{3} + C_{2}$

Étape 2.3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cos (θ) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{3} \cos (θ) + K$