Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\tan^{2} (y)$ .

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\tan^{2} (y)$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\tan^{2} (y) d y = \sec^{2} (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \tan^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (y)$ comme $- 1 + \sec^{2} (y)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 d y + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- y + C_{1} + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.4

Comme la dérivée de $\tan (y)$ est $\sec^{2} (y)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (y)$ est $\tan (y)$ .

$- y + C_{1} + \tan (y) + C_{2} = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- y + \tan (y) + C_{3} = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.3

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$- y + \tan (y) + C_{3} = \tan (x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- y + \tan (y) = \tan (x) + K$