Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 4 y - e^{- x} = 0$ , $y (0) = \frac{4}{3}$

Étape 1

Ajoutez $e^{- x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = e^{- x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 4$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 4 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{4 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{4 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{4 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} e^{- x}$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} e^{- x}$

Étape 3.3

Multipliez $e^{4 x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x - x}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $x$ de $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{3 x}$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{3 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = e^{3 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = e^{3 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int e^{3 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{4 x} y = \int e^{3 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 7.1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 7.1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 7.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{4 x} y = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 7.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{4 x} y = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 7.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Étape 7.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Étape 7.5

Simplifiez

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{u} + C$

Étape 7.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ par $e^{4 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ par $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{4 x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun à $e^{3 x}$ et $e^{4 x}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $\frac{1}{3} e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 8.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 8.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 8.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 8.3.1.1.2.4

Divisez $\frac{1}{3} e^{- x}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{3} e^{- x} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 8.3.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 9

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $\frac{4}{3}$ dans $y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$ .

$\frac{4}{3} = \frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}}$

Étape 10

Résolvez $C$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$ .

$\frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{4}{3}$

Étape 10.2.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{1} = \frac{4}{3}$

Étape 10.2.3

Divisez $C$ par $1$ .

$\frac{1}{3} + C = \frac{4}{3}$

Étape 10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.3.1

Soustrayez $\frac{1}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$C = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 10.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{4 - 1}{3}$

Étape 10.3.3

Soustrayez $1$ de $4$ .

$C = \frac{3}{3}$

Étape 10.3.4

Divisez $3$ par $3$ .

$C = 1$

Étape 11

Remplacez $C$ par $1$ dans $y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Remplacez $C$ par $1$ .

$y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{1}{e^{4 x}}$