Calcul infinitésimal Exemples

$y \ln (y) d x + x d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $y \ln (y) d x$ des deux côtés de l’équation.

$x d y = - y \ln (y) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x y \ln (y)}$ .

$\frac{1}{x y \ln (y)} x d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y \ln (y)$ .

$\frac{1}{x (y \ln (y))} x d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x (y \ln (y))} x d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - \frac{1}{x y \ln (y)} (y \ln (y)) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y \ln (y)$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x y \ln (y)}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{x y \ln (y)} (y \ln (y)) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y \ln (y)$ à partir de $x y \ln (y)$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{y \ln (y) (x)} (y \ln (y)) d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{y \ln (y) x} (y \ln (y)) d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u = \ln (y)$ . Alors $d u = \frac{1}{y} d y$ , donc $y d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u = \ln (y)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Étape 4.2.1.1.2

La dérivée de $\ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (y)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| \ln (y) |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| \ln (y) |) + \ln (| x |) = C$

Étape 5.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \ln (y) | | x |) = C$

Étape 5.3

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| \ln (y) x |) = C$

Étape 5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| \ln (y) x |)$ .

$\ln (| x \ln (y) |) = C$

Étape 5.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| x \ln (y) |)} = e^{C}$

Étape 5.6

Réécrivez $\ln (| x \ln (y) |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | x \ln (y) |$

Étape 5.7

Résolvez $y$ .

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Étape 5.7.1

Réécrivez l’équation comme $| x \ln (y) | = e^{C}$ .

$| x \ln (y) | = e^{C}$

Étape 5.7.2

Résolvez $y$ .

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Étape 5.7.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x \ln (y) = \pm e^{C}$

Étape 5.7.2.2

Divisez chaque terme dans $x \ln (y) = \pm e^{C}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 5.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (y) = \pm e^{C}$ par $x$ .

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Étape 5.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Étape 5.7.2.2.2.1.2

Divisez $\ln (y)$ par $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Étape 5.7.2.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{x}}$

Étape 5.7.2.4

Réécrivez $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\pm e^{C}}{x}} = y$

Étape 5.7.2.5

Réécrivez l’équation comme $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x}}$ .

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x}}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = e^{\frac{C}{x}}$