Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + 4 x^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + 4 x^{2}$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y + 4 x^{2}$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x \cdot x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2.2

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x} + 4$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{2} + \frac{y}{x} + 4$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{2} + V + 4$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{2} + V + 4$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + V + 4 - V$

Étape 6.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans $V^{2} + V + 4 - V$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 0 + 4$

Étape 6.1.1.1.2.2

Additionnez $V^{2}$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 4$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 4$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 4$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{4}{x}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{4}{x}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{4}{x}$

Étape 6.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + 4}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{V^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 4} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 4} \cdot \frac{V^{2} + 4}{x}$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun de $V^{2} + 4$ .

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Étape 6.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{V^{2} + 4} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 4} \cdot \frac{V^{2} + 4}{x}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{V^{2} + 4} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{V^{2} + 4} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{V^{2} + 4} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1.1

Remettez dans l’ordre $V^{2}$ et $4$ .

$\int \frac{1}{4 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{2^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{2^{2} + V^{2}}$ par rapport à $V$ est $\frac{1}{2} \arctan (\frac{V}{2}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{V}{2}) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.2.2.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (\frac{V}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.2

Réécrivez $\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} + C_{1}$ comme $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) = \ln (| x |) + C$ par $2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) = \ln (| x |) + C$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} V) \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $V$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{V}{2}) \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 6.3.1.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (\frac{V}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 6.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arctan (\frac{V}{2})}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 6.3.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Multipliez $\ln (| x |) \cdot 2$ .

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Étape 6.3.1.3.1.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| x |)$ et $2$ .

$\arctan (\frac{V}{2}) = 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Étape 6.3.1.3.1.1.2

Simplifiez $2 \cdot \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln ({| x |}^{2}) + C \cdot 2$

Étape 6.3.1.3.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln (x^{2}) + C \cdot 2$

Étape 6.3.1.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$\arctan (\frac{V}{2}) = \ln (x^{2}) + 2 C$

Étape 6.3.2

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $V$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$\frac{V}{2} = \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

Étape 6.3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{V}{2} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

Étape 6.3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{V}{2} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

Étape 6.3.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$V = 2 \tan (\ln (x^{2}) + 2 C)$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C)$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C)$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C)$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 \tan (\ln (x^{2}) + C) x$ .

$y = 2 x \tan (\ln (x^{2}) + C)$