Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = {(1 - y)}^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{{(1 - y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} {(1 - y)}^{2}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de ${(1 - y)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} {(1 - y)}^{2}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 1 - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 1 - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{2}} d u = \int d x$

Étape 2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Étape 2.2.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.4.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

Étape 2.2.4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

Étape 2.2.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \int u^{- 2} d u = \int d x$

Étape 2.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1} + C_{1}) = \int d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Réécrivez $- (- u^{- 1} + C_{1})$ comme $- - \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- - \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.6.2

Simplifiez

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Étape 2.2.6.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.6.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $1$ .

$\frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - y$ .

$\frac{1}{1 - y} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{1 - y} + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{1 - y} = x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1 - y, 1, 1$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses.

$1 - y, 1, 1$

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$1 - y$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{1 - y} = x + K$ par $1 - y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{1 - y} = x + K$ par $1 - y$ .

$\frac{1}{1 - y} (1 - y) = x (1 - y) + K (1 - y)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 - y} (1 - y) = x (1 - y) + K (1 - y)$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = x (1 - y) + K (1 - y)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = x \cdot 1 + x (- y) + K (1 - y)$

Étape 3.2.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 = x + x (- y) + K (1 - y)$

Étape 3.2.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = x - x y + K (1 - y)$

Étape 3.2.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$1 = x - x y + K \cdot 1 + K (- y)$

Étape 3.2.3.1.5

Multipliez $K$ par $1$ .

$1 = x - x y + K + K (- y)$

Étape 3.2.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = x - x y + K - K y$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $x - x y + K - K y = 1$ .

$x - x y + K - K y = 1$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- x y + K - K y = 1 - x$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$- x y - K y = 1 - x - K$

Étape 3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $- x y - K y$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$y (- x) - K y = 1 - x - K$

Étape 3.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- K y$ .

$y (- x) + y (- K) = 1 - x - K$

Étape 3.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- x) + y (- K)$ .

$y (- x - K) = 1 - x - K$

Étape 3.3.4

Divisez chaque terme dans $y (- x - K) = 1 - x - K$ par $- x - K$ et simplifiez.

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Étape 3.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y (- x - K) = 1 - x - K$ par $- x - K$ .

$\frac{y (- x - K)}{- x - K} = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- x - K$ .

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Étape 3.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- x - K)}{- x - K} = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Étape 3.3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Étape 3.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{1}{- x - K} - \frac{x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Étape 3.3.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{1}{- x - K} - \frac{x}{- x - K} - \frac{K}{- x - K}$

Étape 3.3.4.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.4.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{1 - x}{- x - K} - \frac{K}{- x - K}$

Étape 3.3.4.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{1 - x - K}{- x - K}$

Étape 3.3.4.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{1 - x - K}{- (x) - K}$

Étape 3.3.4.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - K$ .

$y = \frac{1 - x - K}{- (x + K)}$

Étape 3.3.4.3.2.5

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 3.3.4.3.2.5.1

Réécrivez $- (x + K)$ comme $- 1 (x + K)$ .

$y = \frac{1 - x - K}{- 1 (x + K)}$

Étape 3.3.4.3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1 - x - K}{x + K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{1 - x + K}{x + K}$