Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (y - 3)}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{y - 3}{y}$ .

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} (\frac{y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{y}{y - 3}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} \cdot \frac{y}{(y - 3) x}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Factorisez $y - 3$ à partir de $(y - 3) x$ .

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} \cdot \frac{y}{(y - 3) (x)}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} \cdot \frac{y}{(y - 3) x}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{y - 3}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y - 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{y}{y} + \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\int d y + \int \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int d y + \int - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.9

Simplifiez

$y - 3 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y - 3 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y - 3 \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$