Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ par $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ par $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.5

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.6

Associez $y$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.7

Multipliez $3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + y^{2} \frac{3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.7.2

Associez $y^{2}$ et $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.9

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.10

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.10.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Étape 1.10.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Étape 1.10.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 y \frac{1}{x}}$

Étape 1.11

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + y \frac{2}{x}}$

Étape 1.12

Associez $y$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Étape 1.13

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.1

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 \cdot y}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Étape 1.13.2

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Étape 1.14

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Étape 1.15

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{2 y}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.15.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cdot 2 + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Étape 1.15.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Étape 1.16

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.16.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{3 y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Étape 1.16.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Étape 1.17

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{3 y}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.17.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot 3 \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Étape 1.17.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Étape 1.18

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{2 y}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

Étape 1.18.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1

Factorisez $V$ à partir de $2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1.1

Factorisez $V$ à partir de $2 \cdot V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Étape 6.1.1.1.2

Factorisez $V$ à partir de $3 \cdot V \cdot V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + V (3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

Étape 6.1.1.1.3

Factorisez $V$ à partir de $V \cdot 2 + V (3 V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}$

Étape 6.1.1.2

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Pour écrire $- V$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V \cdot \frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.3.3.1

Associez $- V$ et $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} + \frac{- V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.3.4.1

Factorisez $V$ à partir de $V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.3.4.1.1

Factorisez $V$ à partir de $- V (1 + 2 V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.1.2

Factorisez $V$ à partir de $V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 \cdot 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.5

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (3 V + 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.6

Soustrayez $2 V$ de $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.6

Multipliez $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Étape 6.1.1.3.3.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{x (1 + 2 V)}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} (\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.4.1

Multipliez $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Étape 6.1.4.2

Annulez le facteur commun de $1 + 2 V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.4.2.1

Factorisez $1 + 2 V$ à partir de $(1 + 2 V) x$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) (x)}$

Étape 6.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Étape 6.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Étape 6.1.4.3

Annulez le facteur commun de $V (V + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Étape 6.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $V (V + 1)$ .

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $V + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.4.2

Divisez $1 + 2 V$ par $1$ .

$1 + 2 V = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.5

Remettez dans l’ordre $1$ et $2 V$ .

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.6.1

Annulez le facteur commun de $V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.6.1.2

Divisez $A (V + 1)$ par $1$ .

$2 V + 1 = A (V + 1) + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 V + 1 = A V + A \cdot 1 + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.6.3

Multipliez $A$ par $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.6.4

Annulez le facteur commun de $V + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 V + 1 = A V + A + \frac{B (V (V + 1))}{V + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.6.4.2

Divisez $(B) (V)$ par $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + (B) (V)$

$2 V + 1 = A V + A + B V$

Étape 6.2.2.1.1.7

Déplacez $A$ .

$2 V + 1 = A V + B V + A$

Étape 6.2.2.1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $V$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$2 = A + B$

Étape 6.2.2.1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $V$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A$

Étape 6.2.2.1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$2 = A + B$

$1 = A$

$2 = A + B$

$1 = A$

Étape 6.2.2.1.3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.3.1

Réécrivez l’équation comme $A = 1$ .

$A = 1$

$2 = A + B$

Étape 6.2.2.1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $2 = A + B$ par $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

Étape 6.2.2.1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

Étape 6.2.2.1.3.3

Résolvez $B$ dans $2 = 1 + B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

Étape 6.2.2.1.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.3.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

Étape 6.2.2.1.3.3.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Étape 6.2.2.1.3.4

Résolvez le système d’équations.

$B = 1 A = 1$

Étape 6.2.2.1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$B = 1, A = 1$

Étape 6.2.2.1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1}$

Étape 6.2.2.1.5

Supprimez le zéro de l’expression.

$\int \frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{V}$ par rapport à $V$ est $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Laissez $u = V + 1$ . Puis $d u = d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.4.1

Laissez $u = V + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.4.1.1

Différenciez $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Étape 6.2.2.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $V + 1$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Étape 6.2.2.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Étape 6.2.2.4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.2.2.4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2.2.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \ln (| u |) + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.6.1

Simplifiez

$\ln (| V |) + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.6.2.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | | u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6.2.2

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| V u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $V + 1$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| V (V + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Étape 8

Résolvez $\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$ pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 8.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |}{| x |}) = C$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{y}{x} + 1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + 1)}{x} |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + \frac{x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y + x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.3

Associez $y$ et $\frac{y + x}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{\frac{y (y + x)}{x}}{x} |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x} |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.5

Multipliez $\frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.5.1

Multipliez $\frac{y (y + x)}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{1 + 1}} |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{2}} |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.6

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\ln (\frac{\frac{| y (y + x) |}{x^{2}}}{| x |}) = C$

Étape 8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = C$

Étape 8.5

Associez.

$\ln (\frac{| y (y + x) | \cdot 1}{x^{2} | x |}) = C$

Étape 8.6

Multipliez $| y (y + x) |$ par $1$ .

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2} | x |}) = C$