Calcul infinitésimal Exemples

$(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 4 y + x^{2} y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y + x^{2} y]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 y + x^{2} y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $y$ est $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2}$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} + 4$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y - 1$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - 1]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x^{2} + 4$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x^{2} + 4 = 0$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x^{2} + 4$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $4 y + x^{2} y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $4 y + x^{2} y$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{4 y + x^{2} y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0 - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 y + x^{2} y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0 - x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $- (- x^{2} - 4)$ de $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

Étape 4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $4 y + x^{2} y$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + x^{2} y}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + y x^{2}}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 4 + y x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{y (4 + x^{2})}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $- x^{2} - 4$ et $4 + x^{2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 4}{y (4 + x^{2})}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (4)}{y (4 + x^{2})}$

Étape 4.3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

Étape 4.3.4.4

Réécrivez $- (x^{2} + 4)$ comme $- 1 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

Étape 4.3.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

Étape 4.3.4.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

Étape 4.3.4.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y}$

Étape 4.3.5

Remplacez $M$ par $4 y + x^{2} y$ .

$- \frac{1}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- \ln (| y |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $4 y + x^{2} y$ par $\frac{1}{y}$ .

$(4 y + x^{2} y) \frac{1}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $4 y + x^{2} y$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{4 y + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Étape 6.3

Factorisez $y$ à partir de $4 y + x^{2} y$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{y \cdot 4 + y x^{2}}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 4 + y x^{2}$ .

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Étape 6.4.2

Divisez $4 + x^{2}$ par $1$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $y - 1$ par $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $y - 1$ par $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + \frac{y - 1}{y} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 + x^{2} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = 4 + x^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 4 d x + \int x^{2} d x$

Étape 8.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 4 x + C + \int x^{2} d x$

Étape 8.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 8.4

Simplifiez

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y - 1}{y}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Étape 11.3

Comme $4 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Étape 11.4

Comme $\frac{1}{3} x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Étape 11.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Étape 11.6

Associez des termes.

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Étape 11.6.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Étape 11.6.2

Additionnez $0$ et $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Étape 12

Déterminez la primitive de $\frac{y - 1}{y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 12.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y - 1}{y} d y$

Étape 12.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y - 1}{y} d y$

Étape 12.3

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{- 1}{y} d y$

Étape 12.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 12.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Étape 12.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \int d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Étape 12.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{1}{y} d y$

Étape 12.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = y + C + \int - \frac{1}{y} d y$

Étape 12.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = y + C - \int \frac{1}{y} d y$

Étape 12.8

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C - (\ln (| y |) + C)$

Étape 12.9

Simplifiez

$g (y) = y - \ln (| y |) + C$

Étape 13

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + y - \ln (| y |) + C$

Étape 14

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{x^{3}}{3} + y - \ln (| y |) + C$