Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + 5 y = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} + 5 y = \frac{\ln (x)}{x}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Étape 1.3

Factorisez $y$ à partir de $\frac{5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{5}{x} = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5}{x} y = \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{5}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{5}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{5}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$e^{5 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{5 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{5 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{5 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{5})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{5}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{5}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} (\frac{5}{x} y) = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{5}{x}$ et $y$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} \frac{5 y}{x} = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{4} (5 y) = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{5} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x \cdot x^{4} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x \cdot x^{4} \frac{\frac{\ln (x)}{x}}{x}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{4} \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.4

Associez $x^{4}$ et $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x^{4} \ln (x)}{x}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x}$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x^{1}}$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x (x^{3} \ln (x))}{x \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = \frac{x^{3} \ln (x)}{1}$

Étape 3.5.2.5

Divisez $x^{3} \ln (x)$ par $1$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{3} \ln (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{5} y] = x^{3} \ln (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{5} y] d x = \int x^{3} \ln (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x^{5} y = \int x^{3} \ln (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{3}$ .

$x^{5} y = \ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$x^{5} y = \ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{4}}{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Étape 7.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Étape 7.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Étape 7.4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 7.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 7.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

Étape 7.4.2.2.5

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

Étape 7.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 7.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.6.1

Réécrivez $\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ comme $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$x^{5} y = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 7.6.2

Simplifiez

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Étape 7.6.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (x)$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 7.6.2.2

Associez $\frac{\ln (x)}{4}$ et $x^{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 7.6.2.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C$

Étape 7.6.2.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$x^{5} y = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

$x^{5} y = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{16}$ .

$x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4}) - \frac{x^{4}}{16} + C$

Étape 8.1.2

Supprimez les parenthèses.

$x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot \ln (x) x^{4} - \frac{x^{4}}{16} + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4}) - \frac{x^{4}}{16} + C$ par $x^{5}$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{5} y = \frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4}) - \frac{x^{4}}{16} + C$ par $x^{5}$ .

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{5}$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{5}$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $\frac{1}{4} \cdot (\ln (x) x^{4})$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{4} \cdot (\ln (x)))}{x^{5}} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.1.1.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{4} \cdot (\ln (x)))}{x^{4} x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{4} \cdot (\ln (x)))}{x^{4} x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (\ln (x))}{x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.3.1.2

Simplifiez $\frac{1}{4} \ln (x)$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ dans le logarithme.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- \frac{x^{4}}{16}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} - \frac{x^{4}}{16} \cdot \frac{1}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 8.2.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{4}}{16}$ dans le numérateur.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- x^{4}}{16} \cdot \frac{1}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.3.1.4.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $- x^{4}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{x^{4} \cdot - 1}{16} \cdot \frac{1}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.3.1.4.3

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{x^{4} \cdot - 1}{16} \cdot \frac{1}{x^{4} x} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.3.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{x^{4} \cdot - 1}{16} \cdot \frac{1}{x^{4} x} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.3.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- 1}{16} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.3.1.5

Multipliez $\frac{- 1}{16}$ par $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} + \frac{- 1}{16 x} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{4}})}{x} - \frac{1}{16 x} + \frac{C}{x^{5}}$