Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}) d x + (2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = e^{x y^{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Étape 1.3.3

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{2}])) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (x (2 y))) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (x (2 y))) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Étape 1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (2 \cdot x y)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Étape 1.3.7

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.1

Déplacez $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot y^{2} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Étape 1.3.7.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{1} y^{2} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Étape 1.3.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{1 + 2} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Étape 1.3.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Étape 1.4

Comme $4 x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Additionnez $y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y)$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y)$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$

Étape 1.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y e^{x y^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x e^{x y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x y^{2}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x \frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}] + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Étape 2.3.4

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} (y^{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} (y^{2} \cdot 1)) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} (y^{2} \cdot 1)) + e^{x y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Étape 2.3.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2}) + e^{x y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Étape 2.3.8

Multipliez $e^{x y^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2}) + e^{x y^{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Étape 2.4

Comme $- 3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2}) + e^{x y^{2}}) + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (y^{2} y^{1}) (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

Étape 2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2 + 1} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

Étape 2.5.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

Étape 2.5.2.4

Additionnez $2 y^{3} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}}$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$

Étape 2.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$ .

$2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2} d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = 2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 2 x y e^{x y^{2}} d y + \int - 3 y^{2} d y$

Étape 5.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 x \int y e^{x y^{2}} d y + \int - 3 y^{2} d y$

Étape 5.3

Laissez $u = x y^{2}$ . Alors $d u = 2 \cdot y x d y$ , donc $\frac{1}{2 x} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Laissez $u = x y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Différenciez $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 5.3.1.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 5.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 y)$

Étape 5.3.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 x y$

Étape 5.3.1.5

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $y$ .

$y (2 x)$

Étape 5.3.1.6

Supprimez les parenthèses.

$y \cdot 2 x$

Étape 5.3.1.7

Remettez dans l’ordre $y$ et $2$ .

$2 \cdot y x$

Étape 5.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$f (x, y) = 2 x \int e^{u} \frac{1}{2 x} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Étape 5.4

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2 x}$ .

$f (x, y) = 2 x \int \frac{e^{u}}{2 x} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Étape 5.5

Comme $\frac{1}{2 x}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2 x}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 x (\frac{1}{2 x} \int e^{u} d u) + \int - 3 y^{2} d y$

Étape 5.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2 x}$ .

$f (x, y) = x (\frac{2}{2 x} \int e^{u} d u) + \int - 3 y^{2} d y$

Étape 5.6.2

Associez $\frac{2}{2 x}$ et $x$ .

$f (x, y) = \frac{2 x}{2 x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Étape 5.6.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2 x}{2 x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Étape 5.6.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{x}{x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Étape 5.6.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{x}{x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Étape 5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = 1 \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Étape 5.6.5

Multipliez $\int e^{u} d u$ par $1$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Étape 5.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 3 y^{2} d y$

Étape 5.8

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = e^{u} + C - 3 \int y^{2} d y$

Étape 5.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C - 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Étape 5.10

Simplifiez

$f (x, y) = e^{u} - 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Étape 5.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.11.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{u} + \frac{- 3}{3} y^{3} + C$

Étape 5.11.2

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (x, y) = e^{u} + \frac{3 \cdot - 1}{3} y^{3} + C$

Étape 5.11.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.11.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (x, y) = e^{u} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} y^{3} + C$

Étape 5.11.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = e^{u} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} y^{3} + C$

Étape 5.11.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = e^{u} + \frac{- 1}{1} y^{3} + C$

Étape 5.11.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$f (x, y) = e^{u} - y^{3} + C$

Étape 5.12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Étape 8.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Étape 8.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y^{2}$ .

$e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Étape 8.3.2

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x y^{2}} (y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Étape 8.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x y^{2}} (y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Étape 8.3.4

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$e^{x y^{2}} y^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Étape 8.4

Comme $- y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x y^{2}} y^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x y^{2}} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Étape 8.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.1

Additionnez $e^{x y^{2}} y^{2}$ et $0$ .

$e^{x y^{2}} y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Étape 8.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + e^{x y^{2}} y^{2} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Étape 8.6.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + e^{x y^{2}} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x y^{2}} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Soustrayez $y^{2} e^{x y^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3} - y^{2} e^{x y^{2}}$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3} - y^{2} e^{x y^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.2.1

Soustrayez $y^{2} e^{x y^{2}}$ de $y^{2} e^{x y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $4 x^{3}$ afin de déterminer $g (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x^{3} d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x^{3} d x$

Étape 10.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 4 \int x^{3} d x$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ comme $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (x) = 1 x^{4} + C$

Étape 10.5.2.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$g (x) = x^{4} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + x^{4} + C$