Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x \ln (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = x \ln (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x \ln (x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x \ln (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x$ .

$y + C_{1} = \ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Étape 2.3.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.3.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Étape 2.3.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Étape 2.3.4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Étape 2.3.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Étape 2.3.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Étape 2.3.4.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.6.1

Réécrivez $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.2

Associez $\frac{\ln (x)}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.6.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{1}{4} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{1}{4} x^{2} + K$