Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y + 6}}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $e^{2 y + 6}$ .

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} (\frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y + 6}})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{{(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $e^{2 y + 6}$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $e^{2 y + 6}$ à partir de ${(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}$ .

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{e^{2 y + 6} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{e^{2 y + 6} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{15 \cdot 1}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Multipliez $15$ par $1$ .

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$e^{2 y + 6} d y = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int e^{2 y + 6} d y = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 2 y + 6$ . Alors $d u_{1} = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 2 y + 6$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 y + 6$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 6]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y + 6$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [6]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $6$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 y + 6$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , placez $15$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = 3 x + 1$ . Alors $d u_{2} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = 3 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $15$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{15}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2

Annulez le facteur commun à $15$ et $3$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{5}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.5.2.1

Retirez ${u_{2}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ comme $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x + 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - \frac{5}{3 x + 1} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} = - \frac{5}{3 x + 1} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y + 6}) = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} e^{2 y + 6})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 y + 6}$ .

$2 \frac{e^{2 y + 6}}{2} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{e^{2 y + 6}}{2} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 y + 6} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$e^{2 y + 6} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + \frac{K (3 x + 1)}{3 x + 1})$

Étape 3.2.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + K (3 x + 1)}{3 x + 1}$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + K (3 x) + K \cdot 1}{3 x + 1}$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + 3 K x + K \cdot 1}{3 x + 1}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Multipliez $K$ par $1$ .

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + 3 K x + K}{3 x + 1}$

Étape 3.2.2.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.4.1

Associez $2$ et $\frac{- 5 + 3 K x + K}{3 x + 1}$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 5 + 3 K x + K)}{3 x + 1}$

Étape 3.2.2.1.4.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5) + 3 K x + K)}{3 x + 1}$

Étape 3.2.2.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $3 K x$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5) - (- 3 K x) + K)}{3 x + 1}$

Étape 3.2.2.1.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (- 3 K x)$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x) + K)}{3 x + 1}$

Étape 3.2.2.1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $K$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x) - 1 (- K))}{3 x + 1}$

Étape 3.2.2.1.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5 - 3 K x) - 1 (- K)$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x - K))}{3 x + 1}$

Étape 3.2.2.1.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{2 y + 6} = - \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 y + 6}) = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{2 y + 6})$ en déplaçant $2 y + 6$ hors du logarithme.

$(2 y + 6) \ln (e) = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(2 y + 6) \cdot 1 = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Étape 3.4.3

Multipliez $2 y + 6$ par $1$ .

$2 y + 6 = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Étape 3.5

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

Étape 3.6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

Étape 3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.3.1

Divisez $- 6$ par $2$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} - 3$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 + K x + K)}{3 x + 1})}{2} - 3$