Calcul infinitésimal Exemples

$x (2 y + 1) d y + 2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (y^{2} + y + 2 x^{2})]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 2 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 2 x^{2}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + y + 2 x^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Étape 2.6

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1 + 0)$

Étape 2.7

Additionnez $2 y + 1$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1)$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y) + 2 \cdot 1$

Étape 2.8.2

Associez des termes.

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Étape 2.8.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 2 \cdot 1$

Étape 2.8.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 2$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x (2 y + 1)$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (2 y + 1)]$

Étape 3.2

Comme $2 y + 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x (2 y + 1)$ par rapport à $x$ est $(2 y + 1) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (2 y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (2 y + 1) \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez $2 y + 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 y + 2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y + 1$ .

$4 y + 2 = 2 y + 1$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$4 y + 2 = 2 y + 1$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 y + 2$ .

$\frac{4 y + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y + 1$ .

$\frac{4 y + 2 - (2 y + 1)}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $x (2 y + 1)$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $x (2 y + 1)$ .

$\frac{4 y + 2 - (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 y + 2 - (2 y) - 1 \cdot 1}{x (2 y + 1)}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 y + 2 - 2 y - 1 \cdot 1}{x (2 y + 1)}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 y + 2 - 2 y - 1}{x (2 y + 1)}$

Étape 5.3.2.4

Soustrayez $2 y$ de $4 y$ .

$\frac{2 y + 2 - 1}{x (2 y + 1)}$

Étape 5.3.2.5

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{2 y + 1}{x (2 y + 1)}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $2 y + 1$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y + 1}{x (2 y + 1)}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Étape 6.1

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.2.1

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Étape 6.2.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | x | + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$ par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 7.1

Multipliez $2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ par $x$ .

$2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 y^{2} + 2 y + 2 (2 x^{2})) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$(2 y^{2} + 2 y + 4 x^{2}) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{2} x) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Étape 7.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.1

Déplacez $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 (x \cdot x^{2})) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Étape 7.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 7.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 (x^{1} x^{2})) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Étape 7.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{1 + 2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Étape 7.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Étape 7.6

Multipliez $x (2 y + 1)$ par $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x (2 y + 1) x d y = 0$

Étape 7.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.7.1

Déplacez $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x \cdot x (2 y + 1) d y = 0$

Étape 7.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x^{2} (2 y + 1) d y = 0$

Étape 7.8

Appliquez la propriété distributive.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot 1) d y = 0$

Étape 7.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (2 x^{2} y + x^{2} \cdot 1) d y = 0$

Étape 7.10

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (2 x^{2} y + x^{2}) d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y + x^{2} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = 2 x^{2} y + x^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y d y + \int x^{2} d y$

Étape 9.2

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 x^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 x^{2} \int y d y + \int x^{2} d y$

Étape 9.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x^{2} d y$

Étape 9.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x^{2} y + C$

Étape 9.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C$

Étape 9.6

Simplifiez

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Étape 12.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Étape 12.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 12.4.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y^{2} x + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Étape 12.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y^{2} x + y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Étape 12.4.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 y^{2} x + 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Étape 12.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x + 2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Étape 12.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x + 2 x y = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 13.1.1

Soustrayez $2 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x$

Étape 13.1.2

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x - 2 x y$

Étape 13.1.3

Associez les termes opposés dans $2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x - 2 x y$ .

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Étape 13.1.3.1

Soustrayez $2 y^{2} x$ de $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 4 x^{3} + 0 - 2 x y$

Étape 13.1.3.2

Additionnez $2 y x + 4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 4 x^{3} - 2 x y$

Étape 13.1.3.3

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 y x$ et $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + 4 x^{3} - 2 x y$

Étape 13.1.3.4

Soustrayez $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} + 0$

Étape 13.1.3.5

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $4 x^{3}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x^{3} d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x^{3} d x$

Étape 14.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 4 \int x^{3} d x$

Étape 14.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 14.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.5.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ comme $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Étape 14.5.2

Simplifiez

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Étape 14.5.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Étape 14.5.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 14.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Étape 14.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (x) = 1 x^{4} + C$

Étape 14.5.2.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$g (x) = x^{4} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + x^{4} + C$