Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 3$ $y (1) = 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (2 x + 3) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 2 x + 3 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 2 x + 3 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 3 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$y + C_{1} = x^{2} + 3 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = x^{2} + 3 x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $2$ dans $y = x^{2} + 3 x + K$ .

$2 = 1^{2} + 3 \cdot 1 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $1^{2} + 3 \cdot 1 + K = 2$ .

$1^{2} + 3 \cdot 1 + K = 2$

Étape 4.2

Simplifiez $1^{2} + 3 \cdot 1 + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 3 \cdot 1 + K = 2$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 + 3 + K = 2$

Étape 4.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$4 + K = 2$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$K = 2 - 4$

Étape 4.3.2

Soustrayez $4$ de $2$ .

$K = - 2$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 2$ dans $y = x^{2} + 3 x + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 2$ .

$y = x^{2} + 3 x - 2$