Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + x) \frac{d y}{d x} + y = 1 + x$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $(1 + x) y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 + x$ et $g (x) = y$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$(1 + x) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 + x) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + x) y' + y (0 + 1)$

Étape 1.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$(1 + x) y' + y \cdot 1$

Étape 1.7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$(1 + x) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 1.8

Remettez dans l’ordre $1$ et $x$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 1.9

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Étape 1.10

Multipliez $y$ par $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [(1 + x) y] = 1 + x$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x) y] d x = \int 1 + x d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$(1 + x) y = \int 1 + x d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$(1 + x) y = \int d x + \int x d x$

Étape 5.2

Appliquez la règle de la constante.

$(1 + x) y = x + C + \int x d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(1 + x) y = x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5.4

Simplifiez

$(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$ par $1 + x$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$ par $1 + x$ .

$\frac{(1 + x) y}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + x) y}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez $\frac{x^{2}}{2}$ par $\frac{1}{1 + x}$ .

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Étape 6.3.2

Pour écrire $\frac{x}{1 + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Étape 6.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + x) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.3.1

Multipliez $\frac{x}{1 + x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x \cdot 2}{(1 + x) \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Étape 6.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(1 + x) \cdot 2$ .

$y = \frac{x \cdot 2}{2 (1 + x)} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Étape 6.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x \cdot 2 + x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Étape 6.3.5

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 2 + x^{2}$ .

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Étape 6.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 2$ .

$y = \frac{x (2) + x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Étape 6.3.5.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y = \frac{x (2) + x \cdot x}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Étape 6.3.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (2) + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Étape 6.3.6

Pour écrire $\frac{C}{1 + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (1 + x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.7.1

Multipliez $\frac{C}{1 + x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x) \cdot 2}$

Étape 6.3.7.2

Réorganisez les facteurs de $(1 + x) \cdot 2$ .

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Étape 6.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x (2 + x) + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Étape 6.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x \cdot 2 + x \cdot x + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Étape 6.3.9.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{2 \cdot x + x \cdot x + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Étape 6.3.9.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{2 \cdot x + x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Étape 6.3.9.4

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{2 x + x^{2} + 2 C}{2 (1 + x)}$