Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} - 3 y + 2 = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Ajoutez $3 y$ aux deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} + 2 = 3 y$

Étape 1.1.1.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} = 3 y - 2$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = 3 y - 2$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = 3 y - 2$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 2}{x}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 2}{x}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 2}{x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} - \frac{2}{x}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 2}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{3 y - 2}$ .

$\frac{1}{3 y - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2} \cdot \frac{3 y - 2}{x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $3 y - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 y - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2} \cdot \frac{3 y - 2}{x}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 y - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{3 y - 2} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{3 y - 2} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Laissez $u = 3 y - 2$ . Alors $d u = 3 d y$ , donc $\frac{1}{3} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 3 y - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $3 y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [3 y - 2]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 y - 2$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |) = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |)) = 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (| 3 y - 2 |)$ .

$3 \frac{\ln (| 3 y - 2 |)}{3} = 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{\ln (| 3 y - 2 |)}{3} = 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 3 y - 2 |) = 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 3 y - 2 |) = 3 \ln (| x |) + 3 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 3 y - 2 |) - 3 \ln (| x |) = 3 C$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Simplifiez $\ln (| 3 y - 2 |) - 3 \ln (| x |)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Simplifiez $- 3 \ln (| x |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln (| 3 y - 2 |) - \ln ({| x |}^{3}) = 3 C$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}}) = 3 C$

Étape 3.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}})} = e^{3 C}$

Étape 3.6

Réécrivez $\ln (\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}}) = 3 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = \frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}}$

Étape 3.7

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}} = e^{3 C}$ .

$\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}} = e^{3 C}$

Étape 3.7.2

Multipliez les deux côtés par ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{3 C} {| x |}^{3}$

Étape 3.7.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1

Annulez le facteur commun de ${| x |}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{3 C} {| x |}^{3}$

Étape 3.7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 3 y - 2 | = e^{3 C} {| x |}^{3}$

Étape 3.7.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{3 C} {| x |}^{3}$ .

$| 3 y - 2 | = {| x |}^{3} e^{3 C}$

Étape 3.7.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$3 y - 2 = \pm {| x |}^{3} e^{3 C}$

Étape 3.7.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm {| x |}^{3} e^{3 C}$ .

$3 y - 2 = \pm e^{3 C} {| x |}^{3}$

Étape 3.7.4.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = \pm e^{3 C} {| x |}^{3} + 2$

Étape 3.7.4.5

Divisez chaque terme dans $3 y = \pm e^{3 C} {| x |}^{3} + 2$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.5.1

Divisez chaque terme dans $3 y = \pm e^{3 C} {| x |}^{3} + 2$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 C} {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 3.7.4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 C} {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 3.7.4.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm C {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \frac{C {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$