Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Étape 1.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Étape 1.2.3.2

Déplacez $\sqrt{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Étape 1.2.3.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Étape 1.2.3.4

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Étape 1.2.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 1.2.3.7

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.2.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}}$

Étape 1.2.3.7.5

Simplifiez

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.2.1

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.3.1

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 2.3.2.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = x^{\frac{1}{2}} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$ comme $e^{x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{x^{\frac{1}{2}}}$