Calcul infinitésimal Exemples

$e^{y} d y - (1 + e^{y}) d x = 0$

Étape 1

Ajoutez $(1 + e^{y}) d x$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{y} d y = (1 + e^{y}) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + e^{y}}$ .

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{1 + e^{y}}$ et $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $1 + e^{y}$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 1 d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u = 1 + e^{y}$ . Alors $d u = e^{y} d y$ , donc $\frac{1}{e^{y}} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u = 1 + e^{y}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $1 + e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

Étape 4.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 4.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 4.2.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 4.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{y}$

Étape 4.2.1.1.4

Additionnez $0$ et $e^{y}$ .

$e^{y}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + e^{y}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int d x$

Étape 4.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) = x + C$