Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{d y}{d x} - 6 x y - 3 x = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Ajoutez $6 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \frac{d y}{d x} - 3 x = 6 x y$

Étape 1.1.1.2

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \frac{d y}{d x} = 6 x y + 3 x$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d x} = 6 x y + 3 x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d x} = 6 x y + 3 x$ par $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{6 x y}{2} + \frac{3 x}{2}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{6 x y}{2} + \frac{3 x}{2}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x y}{2} + \frac{3 x}{2}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x y)}{2} + \frac{3 x}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x y)}{2 (1)} + \frac{3 x}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{3 x}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x y}{1} + \frac{3 x}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.2.4

Divisez $3 x y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x y + \frac{3 x}{2}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x y + \frac{3 x}{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x (y) + \frac{3 x}{2}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $3 x$ à partir de $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x (y) + 3 x \frac{1}{2}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (y) + 3 x \frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x (y + \frac{1}{2})$

Étape 1.2.2

Pour écrire $y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x (y \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 1.2.3

Associez $y$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x (\frac{y \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = 3 x \frac{y \cdot 2 + 1}{2}$

Étape 1.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x \frac{2 y + 1}{2}$

Étape 1.2.6

Associez les exposants.

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Étape 1.2.6.1

Associez $3$ et $\frac{2 y + 1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{3 (2 y + 1)}{2}$

Étape 1.2.6.2

Associez $x$ et $\frac{3 (2 y + 1)}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 (2 y + 1))}{2}$

Étape 1.2.7

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 (2 y + 1)}{2}$

Étape 1.2.8

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot x (2 y + 1)}{2}$

Étape 1.2.9

Multipliez $3$ par $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (2 y + 1)}{2}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2} (2 y + 1)$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} (\frac{3 x}{2} (2 y + 1))$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $2 y + 1$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $2 y + 1$ à partir de $\frac{3 x}{2} (2 y + 1)$ .

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) \frac{3 x}{2})$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) \frac{3 x}{2})$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{2 y + 1} d y = \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{2 y + 1} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 2 y + 1$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 2 y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3 x}{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{2} \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) = \frac{3}{4} x^{2} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |)) = 2 (\frac{3}{4} x^{2} + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 2 y + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{3}{4} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{3}{4} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{3}{4} x^{2} + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{3}{4} x^{2} + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{2}$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{3 x^{2}}{4} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{3 x^{2}}{4} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{3 x^{2}}{2 (2)} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{3 x^{2}}{2 \cdot 2} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{3 x^{2}}{2} + 2 C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 2 y + 1 |)} = e^{\frac{3 x^{2}}{2} + 2 C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{3 x^{2}}{2} + 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3 x^{2}}{2} + 2 C} = | 2 y + 1 |$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 2 y + 1 | = e^{\frac{3 x^{2}}{2} + 2 C}$ .

$| 2 y + 1 | = e^{\frac{3 x^{2}}{2} + 2 C}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 y + 1 = \pm e^{\frac{3 x^{2}}{2} + 2 C}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \pm e^{\frac{3 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm e^{\frac{3 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm e^{\frac{3 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{3 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{3 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.3.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.4.3.1.1.1

Pour écrire $2 C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 x^{2}}{2} + 2 C \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.1.1.2

Associez $2 C$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{2 C \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 x^{2} + 2 C \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 x^{2} + 4 C}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 x^{2} + 4 C}{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 x^{2} + 4 C}{2}} - 1}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 x^{2} + C}{2}} - 1}{2}$