Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $2 y + 1$ .

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = (2 y + 1) \frac{1}{2 y + 1}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $2 y + 1$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = (2 y + 1) \frac{1}{2 y + 1}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(2 y + 1) d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 y + 1 d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 y d y + \int d y = \int d x$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int y d y + \int d y = \int d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int d y = \int d x$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int d x$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez

$y^{2} + y + C_{3} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$y^{2} + y + C_{3} = x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y^{2} + y = x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} + y - x = K$

Étape 3.1.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} + y - x - K = 0$

Étape 3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = - x - K$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x - K))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x - K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x - K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

Étape 3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 K + 4 x + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 K + 4 x + 1}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{K + 4 x + 1}}{2}$