Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} - (x + 1) y = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{d y}{d x} + (- x - 1 \cdot 1) y = 0$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + (- x - 1) y = 0$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{d y}{d x} - x y - 1 y = 0$

Étape 1.1.1.4

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$x \frac{d y}{d x} - x y - y = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Ajoutez $x y$ aux deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} - y = x y$

Étape 1.1.2.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} = x y + y$

Étape 1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = x y + y$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = x y + y$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x y}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x y}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{y}{x}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y + \frac{y}{x}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y + \frac{y}{x}$ .

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Étape 1.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + \frac{y}{x}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + \frac{y}{x}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y \frac{1}{x}$

Étape 1.2.1.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + \frac{1}{x})$

Étape 1.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{x}{x} + \frac{1}{x})$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x + 1}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x + 1}{x})$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x + 1}{x})$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{x + C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{x + C} | x |$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{x + C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{x + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{x + C}$ comme $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{x} e^{C})$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{x})$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | x | e^{x}$