Calcul infinitésimal Exemples

$2 x y + 6 x + (x^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x y + 6 x + x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$6 x + x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Étape 1.1.2.2

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 6 x$

Étape 1.1.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} - 4 \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 6 x$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $- 4 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 4 = - 2 x y - 6 x$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 4$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 4) = - 2 x y - 6 x$

Étape 1.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 2^{2}) = - 2 x y - 6 x$

Étape 1.1.5

Factorisez.

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Étape 1.1.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{d y}{d x} ((x + 2) (x - 2)) = - 2 x y - 6 x$

Étape 1.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 6 x$

Étape 1.1.6

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 6 x$ par $(x + 2) (x - 2)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.6.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 6 x$ par $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.1.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.6.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 1.1.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.1.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.1.6.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 1.1.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.1.6.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.1.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.1.6.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}) - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}) - (\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)})$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}) - (\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)})$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)})$

Étape 1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y + 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x y + 6 x$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y) + 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.2.3.2

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y) + 2 x (3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.2.3.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (y) + 2 x (3)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3)$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (- \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3))$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 3} (\frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3))$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $y + 3$ .

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Étape 1.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y + 3}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 3} (\frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3))$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $y + 3$ à partir de $\frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3)$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 3} ((y + 3) \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)})$

Étape 1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 3} ((y + 3) \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)})$

Étape 1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y + 3} d y = - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = y + 3$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = y + 3$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} d x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Étape 2.3.4

Laissez $u_{2} = (x + 2) (x - 2)$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.4.1

Laissez $u_{2} = (x + 2) (x - 2)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Différenciez $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 2)]$

Étape 2.3.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x - 2$ .

$(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.3.4.1.3

Différenciez.

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Étape 2.3.4.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.3.4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.3.4.1.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.3.4.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.3.4.1.3.4.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.3.4.1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.3.4.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.3.4.1.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x + 2 + (x - 2) (1 + 0)$

Étape 2.3.4.1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.3.4.1.3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x + 2 + (x - 2) \cdot 1$

Étape 2.3.4.1.3.8.2

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$x + 2 + x - 2$

Étape 2.3.4.1.3.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 x + 2 - 2$

Étape 2.3.4.1.3.8.4

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.3.4.1.3.8.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.4.1.3.8.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.9

Simplifiez

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $(x + 2) (x - 2)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \ln (| (x + 2) (x - 2) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = - \ln (| (x + 2) (x - 2) |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y + 3 |) + \ln (| (x + 2) (x - 2) |) = C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 3 | | (x + 2) (x - 2) |) = C$

Étape 3.3

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y + 3 | | x (x - 2) + 2 (x - 2) |) = C$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) |) = C$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 3.4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Étape 3.4.1.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 |) = C$

Étape 3.4.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Étape 3.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (| y + 3 | | x^{2} + 2 \cdot - 2 |) = C$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\ln (| y + 3 | | x^{2} - 4 |) = C$

Étape 3.5

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (y + 3) (x^{2} - 4) |) = C$

Étape 3.6

Développez $(y + 3) (x^{2} - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y (x^{2} - 4) + 3 (x^{2} - 4) |) = C$

Étape 3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 4 + 3 (x^{2} - 4) |) = C$

Étape 3.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 4 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 4 |) = C$

Étape 3.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.1

Déplacez $- 4$ à gauche de $y$ .

$\ln (| y x^{2} - 4 \cdot y + 3 x^{2} + 3 \cdot - 4 |) = C$

Étape 3.7.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\ln (| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |) = C$

Étape 3.8

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |)} = e^{C}$

Étape 3.9

Réécrivez $\ln (| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |$

Étape 3.10

Résolvez $y$ .

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Étape 3.10.1

Réécrivez l’équation comme $| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 | = e^{C}$ .

$| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 | = e^{C}$

Étape 3.10.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 = \pm e^{C}$

Étape 3.10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.10.3.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y x^{2} - 4 y - 12 = \pm e^{C} - 3 x^{2}$

Étape 3.10.3.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$y x^{2} - 4 y = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Étape 3.10.4

Factorisez $y$ à partir de $y x^{2} - 4 y$ .

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Étape 3.10.4.1

Factorisez $y$ à partir de $y x^{2}$ .

$y (x^{2}) - 4 y = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Étape 3.10.4.2

Factorisez $y$ à partir de $- 4 y$ .

$y (x^{2}) + y \cdot - 4 = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Étape 3.10.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x^{2}) + y \cdot - 4$ .

$y (x^{2} - 4) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Étape 3.10.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y (x^{2} - 2^{2}) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Étape 3.10.6

Factorisez.

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Étape 3.10.6.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$y ((x + 2) (x - 2)) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Étape 3.10.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y (x + 2) (x - 2) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

Étape 3.10.7

Divisez chaque terme dans $y (x + 2) (x - 2) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$ par $(x + 2) (x - 2)$ et simplifiez.

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Étape 3.10.7.1

Divisez chaque terme dans $y (x + 2) (x - 2) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$ par $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{y (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.10.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.10.7.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 3.10.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.10.7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.10.7.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 3.10.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.10.7.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.10.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.10.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$