Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + y = \sqrt{x}$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 1.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Étape 1.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = \sqrt{x}$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \sqrt{x} d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int \sqrt{x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1

Placez $x^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.2.1

Déplacez $x^{- 1}$ .

$y = \frac{2}{3} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.6.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{C}{x}$