Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x^{3} + 2 x^{2} + 5) y}{x (4 y^{3} + 3 y)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{4 y^{3} + 3 y}{y}$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3} + 3 y}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y^{3} + 3 y$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2}) + 3 y}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Étape 1.3.1.2

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2}) + y \cdot 3}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Étape 1.3.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (4 y^{2}) + y \cdot 3$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Étape 1.3.2.2

Divisez $4 y^{2} + 3$ par $1$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

Étape 1.3.3

Factorisez $y$ à partir de $4 y^{3} + 3 y$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2}) + 3 y})$

Étape 1.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2}) + y \cdot 3})$

Étape 1.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (4 y^{2}) + y \cdot 3$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2} + 3)})$

Étape 1.3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2} + 3)})$

Étape 1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{1}{4 y^{2} + 3})$

Étape 1.3.5

Multipliez $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x}$ par $\frac{1}{4 y^{2} + 3}$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x (4 y^{2} + 3)}$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun de $4 y^{2} + 3$ .

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Étape 1.3.6.1

Factorisez $4 y^{2} + 3$ à partir de $x (4 y^{2} + 3)$ .

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{(4 y^{2} + 3) x}$

Étape 1.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{(4 y^{2} + 3) x}$

Étape 1.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} d y = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{4 y^{3} + 3 y}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y^{3} + 3 y$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y^{3}$ .

$\int \frac{y (4 y^{2}) + 3 y}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Étape 2.2.1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$\int \frac{y (4 y^{2}) + y \cdot 3}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Étape 2.2.1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (4 y^{2}) + y \cdot 3$ .

$\int \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Divisez $4 y^{2} + 3$ par $1$ .

$\int 4 y^{2} + 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 y^{2} d y + \int 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int y^{2} d y + \int 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Étape 2.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Étape 2.2.6.2

Simplifiez

$\frac{4 y^{3}}{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Étape 2.2.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3}}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x^{1}} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{2}}{1} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.3.1.2.5

Divisez $3 x^{2}$ par $1$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{2 x}{1} d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.2.5

Divisez $2 x$ par $1$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 2 x d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 \int x d x + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int \frac{5}{x} d x$

Étape 2.3.8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 5 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.9

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 5 (\ln (| x |) + C_{6})$

Étape 2.3.10

Simplifiez

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = x^{3} + x^{2} + 5 \ln (| x |) + C_{7}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y = x^{3} + x^{2} + 5 \ln (| x |) + C$