Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

Étape 2.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Étape 2.3.5

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.5.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.3.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Étape 2.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Étape 2.3.8

Réécrivez $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ comme $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Étape 2.3.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

Étape 3.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

Étape 3.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

Étape 3.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $K$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

Étape 3.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Étape 3.3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.6.1

Réécrivez $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ comme $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Étape 3.3.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$