Calcul infinitésimal Exemples

$(x \sin (x) + 1) d y + (y \sin (x) + x y \cos (x)) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$(y \sin (x) + x y \cos (x)) d x + (x \sin (x) + 1) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y \sin (x) + x y \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x) + x y \cos (x)]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y \sin (x) + x y \cos (x)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\sin (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y \sin (x)$ par rapport à $y$ est $\sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Étape 2.3.3

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $x \cos (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y \cos (x)$ par rapport à $y$ est $x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x)$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cos (x) + \sin (x)$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \sin (x) + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $x \cos (x) + \sin (x)$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x)$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x \cos (x) + \sin (x)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $x \cos (x) + \sin (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

Étape 4.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$ est une identité.

Étape 5

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) + 1 d y$

Étape 6

Intégrez $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

Étape 7

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$

Étape 8

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Étape 9

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 9.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y + g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Étape 9.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(x \sin (x) + 1) y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y]$ .

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Étape 9.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $(x \sin (x) + 1) y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Étape 9.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \sin (x) + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Étape 9.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Étape 9.3.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Étape 9.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Étape 9.3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Étape 9.3.7

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Étape 9.3.8

Additionnez $x \cos (x) + \sin (x)$ et $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Étape 9.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Étape 9.5

Simplifiez

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Étape 9.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Étape 9.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Étape 10

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 10.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1.1

Soustrayez $x y \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x)$

Étape 10.1.2

Soustrayez $y \sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Étape 10.1.3

Associez les termes opposés dans $y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

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Étape 10.1.3.1

Soustrayez $x y \cos (x)$ de $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

Étape 10.1.3.2

Additionnez $y \sin (x)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - y \sin (x)$

Étape 10.1.3.3

Soustrayez $y \sin (x)$ de $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Étape 11

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 11.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Étape 11.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Étape 11.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Étape 11.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (x) = C$

Étape 12

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

Étape 13

Simplifiez $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$ .

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 y + C$

Étape 13.1.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$

Étape 13.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$ .

$f (x, y) = x y \sin (x) + y + C$