Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{2} + 1) d x = (1 + x y) d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $(1 + x y) d y$ des deux côtés de l’équation.

$(y^{2} + 1) d x - (1 + x y) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y^{2} + 1$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Étape 2.5

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (1 + x y)$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x y)]$

Étape 3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (1 + x y)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [1 + x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x y]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.6

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Étape 3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y$ .

$2 y = - y$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 y = - y$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ .

$\frac{- y - (2 y)}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $y^{2} + 1$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $y^{2} + 1$ .

$\frac{- y - (2 y)}{y^{2} + 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y - 1 \cdot 2 y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{y \cdot - 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2} + 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2} + 1}$

Étape 5.3.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 1 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (- 1 - 1 \cdot 2)}{y^{2} + 1}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y (- 1 - 2)}{y^{2} + 1}$

Étape 5.3.2.3

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{y \cdot - 3}{y^{2} + 1}$

Étape 5.3.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $y$ .

$\frac{- 3 \cdot y}{y^{2} + 1}$

Étape 5.3.4

Remplacez $M$ par $y^{2} + 1$ .

$- \frac{3 y}{y^{2} + 1}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$

Étape 6.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{y}{y^{2} + 1} d y)}$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{y}{y^{2} + 1} d y}$

Étape 6.4

Laissez $u = y^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.4.1

Laissez $u = y^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 6.4.1.1

Différenciez $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Étape 6.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 6.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 6.4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 y + 0$

Étape 6.4.1.5

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$2 y$

Étape 6.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Étape 6.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Étape 6.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Étape 6.7

Simplifiez

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Étape 6.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 6.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 6.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Étape 6.9

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

Étape 6.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2} + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)} + C$

Étape 6.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.11.1

Multipliez $- \frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)$ .

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Étape 6.11.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| y^{2} + 1 |)$ et $\frac{3}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))} + C$

Étape 6.11.1.2

Simplifiez $\frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)$ en déplaçant $\frac{3}{2}$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} + C$

Étape 6.11.2

Simplifiez $- \ln ({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

Étape 6.11.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

Étape 6.11.4

Multipliez les exposants dans ${({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.11.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

Étape 6.11.4.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 6.11.4.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

Étape 6.11.4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

Étape 6.11.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{- \frac{3}{2}} + C$

Étape 6.11.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $(y^{2} + 1) d x - (1 + x y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $y^{2} + 1$ par $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$(y^{2} + 1) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Étape 7.2

Multipliez $y^{2} + 1$ par $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{y^{2} + 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Étape 7.3

Soustraire l’exposant du dénominateur de l’exposant du numérateur pour la même base

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{3}{2} \cdot - 1} d x - (1 + x y) d y = 0$

Étape 7.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.1

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 7.4.1.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{3 \cdot - 1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Étape 7.4.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{- 3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Étape 7.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

${(y^{2} + 1)}^{1 - \frac{3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Étape 7.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Étape 7.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{2 - 3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Étape 7.7

Soustrayez $3$ de $2$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Étape 7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Étape 7.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Étape 7.10

Multipliez $- (1 + x y)$ par $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - (1 + x y) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 7.11

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - (x y)) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 7.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + (- 1 - (x y)) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 7.13

Multipliez $- 1 - x y$ par $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 - x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 7.14

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 7.15

Factorisez $- 1$ à partir de $- x y$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 7.16

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (x y)$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 7.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + C$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.2

Réécrivez $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 12.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ et $g (y) = y^{2} + 1$ .

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Étape 12.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y^{2} + 1$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y^{2} + 1$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + \frac{d}{d y} [1]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.8

Multipliez les exposants dans ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 12.3.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.14

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.16

Associez $2$ et $\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.17

Associez $\frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $y$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} y}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.18

Placez ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.19

Annulez le facteur commun.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.20

Réécrivez l’expression.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.21

Associez $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$x (- \frac{y {(y^{2} + 1)}^{- 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.22

Placez ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.23

Multipliez ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $y^{2} + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.3.23.1

Multipliez ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $y^{2} + 1$ .

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Étape 12.3.23.1.1

Élevez $y^{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.23.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.23.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.23.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.23.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.3.24

Associez $x$ et $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 13.1.1.1

Ajoutez $\frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x y + 1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.3

Associez les termes opposés dans $- x y + 1 + x y$ .

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Étape 13.1.1.3.1

Additionnez $- x y$ et $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 13.1.2

Soustrayez $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $- \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Étape 14.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Étape 14.4

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(y^{2} + 1)}^{3}}} d y$

Étape 14.5

Laissez $y = \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d y = \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ est positif.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 14.6

Simplifiez $\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ .

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Étape 14.6.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 14.6.2

Multipliez les exposants dans ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

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Étape 14.6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 14.6.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 14.6.3

Réécrivez $\sec^{6} (t)$ comme ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 14.6.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 14.7

Annulez le facteur commun de $\sec^{2} (t)$ .

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Étape 14.7.1

Factorisez $\sec^{2} (t)$ à partir de $\sec^{3} (t)$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 14.7.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 14.7.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Étape 14.8

Simplifiez

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Étape 14.8.1

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$g (y) = - \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Étape 14.8.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$g (y) = - \int 1 \cos (t) d t$

Étape 14.8.3

Multipliez $\cos (t)$ par $1$ .

$g (y) = - \int \cos (t) d t$

Étape 14.9

L’intégrale de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $\sin (t)$ .

$g (y) = - (\sin (t) + C)$

Étape 14.10

Simplifiez

$g (y) = - \sin (t) + C$

Étape 14.11

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (y)$ .

$g (y) = - \sin (\arctan (y)) + C$

Étape 15

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \sin (\arctan (y)) + C$

Étape 16

Simplifiez $f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \sin (\arctan (y)) + C$ .

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Étape 16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, y)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (y)$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, y)$ . Ainsi, $\sin (\arctan (y))$ est $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Étape 16.1.2

Multipliez $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}) + C$

Étape 16.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.1.3.1

Multipliez $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}} \sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Étape 16.1.3.2

Élevez $\sqrt{1 + y^{2}}$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1} \sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Étape 16.1.3.3

Élevez $\sqrt{1 + y^{2}}$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + y^{2}}}^{1}} + C$

Étape 16.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1 + 1}} + C$

Étape 16.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}} + C$

Étape 16.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}$ comme $1 + y^{2}$ .

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Étape 16.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + y^{2}}$ comme ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Étape 16.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Étape 16.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Étape 16.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Étape 16.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{1}} + C$

Étape 16.1.3.6.5

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} + C$

Étape 16.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} + C$

Étape 16.3

Pour écrire $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} + C$

Étape 16.4

Pour écrire $- \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 16.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y^{2} + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 16.5.1

Multipliez $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 16.5.2

Multipliez ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $y^{2} + 1$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.5.2.1

Multipliez ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $y^{2} + 1$ .

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Étape 16.5.2.1.1

Élevez $y^{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 16.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 16.5.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 16.5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 16.5.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 16.5.3

Multipliez $\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1}$ par $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{(y^{2} + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 16.5.4

Multipliez $y^{2} + 1$ par ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.5.4.1

Multipliez $y^{2} + 1$ par ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 16.5.4.1.1

Élevez $y^{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{1} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 16.5.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

Étape 16.5.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

Étape 16.5.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

Étape 16.5.4.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + y^{2}}$ comme ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x \cdot 1 - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.4

Multipliez $- y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 16.7.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.4.2

Multipliez ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.7.1.4.2.1

Déplacez ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.4.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.4.3

Simplifiez $- y {(y^{2} + 1)}^{1}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y \cdot y^{2} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.6

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.7.1.6.1

Déplacez $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - (y^{2} y) - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.6.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 16.7.1.6.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - (y^{2} y^{1}) - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{2 + 1} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{3} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{3} - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.8

Réécrivez $x y^{2} + x - y^{3} - y$ en forme factorisée.

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Étape 16.7.1.8.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 16.7.1.8.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x, y) = \frac{(x y^{2} + x) - y^{3} - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.8.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.1.8.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y^{2} + 1$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{2} + 1) (x - y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 16.7.2

Placez ${(y^{2} + 1)}^{1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(y^{2} + 1)}^{- 1}} + C$

Étape 16.7.3

Multipliez ${(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ par ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.7.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

Étape 16.7.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

Étape 16.7.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Étape 16.7.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Étape 16.7.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.7.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

Étape 16.7.3.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$