Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x} y = 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x} y = 2$ par $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Étape 1.3.2

Divisez $3 y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{2}{e^{x}}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 3 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{3 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{3 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{3 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} \frac{2}{e^{x}}$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} \frac{2}{e^{x}}$

Étape 3.3

Associez $e^{3 x}$ et $\frac{2}{e^{x}}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{3 x} \cdot 2}{e^{x}}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $e^{3 x}$ et $e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{3 x} \cdot 2$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{x} (e^{2 x} \cdot 2)}{e^{x}}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{x} (e^{2 x} \cdot 2)}{e^{x} \cdot 1}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{x} (e^{2 x} \cdot 2)}{e^{x} \cdot 1}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{2 x} \cdot 2}{1}$

Étape 3.4.2.4

Divisez $e^{2 x} \cdot 2$ par $1$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{2 x} \cdot 2$

Étape 3.5

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 \cdot e^{2 x}$

Étape 3.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{2 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 e^{2 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 e^{2 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 e^{2 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{3 x} y = \int 2 e^{2 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 x} y = 2 \int e^{2 x} d x$

Étape 7.2

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{3 x} y = 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 7.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{3 x} y = 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 7.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 7.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$e^{3 x} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Étape 7.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{3 x} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Étape 7.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{3 x} y = 1 \int e^{u} d u$

Étape 7.5.3

Multipliez $\int e^{u} d u$ par $1$ .

$e^{3 x} y = \int e^{u} d u$

Étape 7.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = e^{u} + C$

Étape 7.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{3 x} y = e^{2 x} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{3 x} y = e^{2 x} + C$ par $e^{3 x}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{3 x} y = e^{2 x} + C$ par $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{e^{2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{3 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{e^{2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun à $e^{2 x}$ et $e^{3 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1

Factorisez $e^{3 x}$ à partir de $e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x} e^{- x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{3 x} e^{- x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{3 x} e^{- x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.3.1.2.4

Divisez $e^{- x}$ par $1$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{3 x}}$