Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x + 3 y} d y = x d x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $x d x$ des deux côtés de l’équation.

$e^{x + 3 y} d y - x d x = 0$

Étape 1.2

Réécrivez.

$- x d x + e^{x + 3 y} d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 2.2

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = e^{x + 3 y}$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x + 3 y}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x + 3 y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + 3 y} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + 3 y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + 3 y} (1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Étape 3.3.3

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + 3 y} (1 + 0)$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + 3 y} \cdot 1$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $e^{x + 3 y}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + 3 y}$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $e^{x + 3 y}$ .

$0 = e^{x + 3 y}$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$0 = e^{x + 3 y}$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $e^{x + 3 y}$ .

$\frac{0 - e^{x + 3 y}}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $e^{x + 3 y}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $e^{x + 3 y}$ .

$\frac{0 - e^{x + 3 y}}{e^{x + 3 y}}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $e^{x + 3 y}$ de $0$ .

$\frac{- e^{x + 3 y}}{e^{x + 3 y}}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $e^{x + 3 y}$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- e^{x + 3 y}}{e^{x + 3 y}}$

Étape 5.3.3.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - 1 d x}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{- x + C}$

Étape 6.2

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- x} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $- x d x + e^{x + 3 y} d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{- x}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $- x$ par $e^{- x}$ .

$- x e^{- x} d x + e^{x + 3 y} d y = 0$

Étape 7.2

Multipliez $e^{x + 3 y}$ par $e^{- x}$ .

$- x e^{- x} d x + e^{x + 3 y} e^{- x} d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $e^{x + 3 y}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x e^{- x} d x + e^{x + 3 y - x} d y = 0$

Étape 7.3.2

Associez les termes opposés dans $x + 3 y - x$ .

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Étape 7.3.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$- x e^{- x} d x + e^{3 y + 0} d y = 0$

Étape 7.3.2.2

Additionnez $3 y$ et $0$ .

$- x e^{- x} d x + e^{3 y} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{3 y} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = e^{3 y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = 3 y$ . Alors $d u = 3 d y$ , donc $\frac{1}{3} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1.1

Laissez $u = 3 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 9.1.1.1

Différenciez $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Étape 9.1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 9.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 9.1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 9.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$f (x, y) = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 9.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 9.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Étape 9.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Étape 9.5

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{3} e^{u} + C$

Étape 9.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 y$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} e^{3 y} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} e^{3 y} + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - x e^{- x}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 y} + g (x)] = - x e^{- x}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} e^{3 y} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - x e^{- x}$

Étape 12.3

Comme $\frac{1}{3} e^{3 y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} e^{3 y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - x e^{- x}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = - x e^{- x}$

Étape 12.5

Additionnez $0$ et $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x e^{- x}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- x e^{- x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - x e^{- x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x e^{- x} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x e^{- x} d x$

Étape 13.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int x e^{- x} d x$

Étape 13.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$g (x) = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Étape 13.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Étape 13.6

Simplifiez

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Étape 13.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (x) = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Étape 13.6.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$g (x) = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Étape 13.7

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 13.7.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 13.7.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 13.7.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 13.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 13.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (x) = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Étape 13.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Étape 13.9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$g (x) = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Étape 13.10

Réécrivez $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ comme $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ .

$g (x) = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

Étape 13.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$g (x) = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

Étape 13.12

Simplifiez

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Étape 13.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (x) = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

Étape 13.12.2

Multipliez $- (- x e^{- x})$ .

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Étape 13.12.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (x) = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

Étape 13.12.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$g (x) = x e^{- x} - - e^{- x} + C$

Étape 13.12.3

Multipliez $- - e^{- x}$ .

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Étape 13.12.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (x) = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C$

Étape 13.12.3.2

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$g (x) = x e^{- x} + e^{- x} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{3} e^{3 y} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} e^{3 y} + x e^{- x} + e^{- x} + C$

Étape 15

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 y}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{3 y}}{3} + x e^{- x} + e^{- x} + C$