Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y - y + x^{2} - 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} y - y) + x^{2} - 1$

Étape 1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2} - 1) + 1 (x^{2} - 1)$

Étape 1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x^{2} - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} - 1) (y + 1)$

Étape 1.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} - 1^{2}) (y + 1)$

Étape 1.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) (y + 1)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((x + 1) (x - 1) (y + 1))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $y + 1$ à partir de $(x + 1) (x - 1) (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1)$

Étape 1.3.2

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x (x - 1) + 1 (x - 1)$

Étape 1.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)$

Étape 1.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x - 1$

Étape 1.3.3.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 0 - 1$

Étape 1.3.3.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y + 1} d y = (x^{2} - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y + 1$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{3} x^{3} - x + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} x^{3} - x + C} = | y + 1 |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y + 1 | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - x + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - x + C}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{3}}{3} - x + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - x + C}$

Étape 3.3.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - x + C} - 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{x^{3}}{3} - x + C}$ comme $e^{\frac{x^{3}}{3} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - x} e^{C} - 1$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{x^{3}}{3} - x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{3}}{3} - x} - 1$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\frac{x^{3}}{3} - x} - 1$