Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x^{2}}$ , $y (1) = \frac{π}{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\arctan (x) + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$y + C_{1} = 4 \arctan (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 4 \arctan (x) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $\frac{π}{2}$ dans $y = 4 \arctan (x) + K$ .

$\frac{π}{2} = 4 \arctan (1) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$ .

$4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

Étape 4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

Étape 4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$π + K = \frac{π}{2}$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $π$ des deux côtés de l’équation.

$K = \frac{π}{2} - π$

Étape 4.3.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.3.3

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$K = \frac{π - 2 π}{2}$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $2 π$ de $π$ .

$K = \frac{- π}{2}$

Étape 4.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$K = - \frac{π}{2}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- \frac{π}{2}$ dans $y = 4 \arctan (x) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- \frac{π}{2}$ .

$y = 4 \arctan (x) - \frac{π}{2}$