Calcul infinitésimal Exemples

$3 x v d v + (2 v^{2} - 1) d x = 0$

Étape 1

Soustrayez $(2 v^{2} - 1) d x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x v d v = - (2 v^{2} - 1) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x (2 v^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (3 x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x (2 v^{2} - 1)}$ .

$\frac{3}{x (2 v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x v$ .

$\frac{3}{x (2 v^{2} - 1)} (x (v)) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{x (2 v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2 v^{2} - 1} v d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.4

Associez $\frac{3}{2 v^{2} - 1}$ et $v$ .

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Étape 3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = - \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (2 v^{2} - 1) d x$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $2 v^{2} - 1$ .

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Étape 3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)}$ dans le numérateur.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{x (2 v^{2} - 1)} (2 v^{2} - 1) d x$

Étape 3.6.2

Factorisez $2 v^{2} - 1$ à partir de $x (2 v^{2} - 1)$ .

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{(2 v^{2} - 1) x} (2 v^{2} - 1) d x$

Étape 3.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{(2 v^{2} - 1) x} (2 v^{2} - 1) d x$

Étape 3.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $v$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{v}{2 v^{2} - 1} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

Laissez $u = 2 v^{2} - 1$ . Alors $d u = 4 v d v$ , donc $\frac{1}{4} d u = v d v$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.2.1

Laissez $u = 2 v^{2} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d v}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Différenciez $2 v^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d v} [2 v^{2} - 1]$

Étape 4.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 v^{2} - 1$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [2 v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [2 v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Étape 4.2.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d v} [2 v^{2}]$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $2 v^{2}$ par rapport à $v$ est $2 \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Étape 4.2.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 v) + \frac{d}{d v} [- 1]$

Étape 4.2.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 v + \frac{d}{d v} [- 1]$

Étape 4.2.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.2.2.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $v$ est $0$ .

$4 v + 0$

Étape 4.2.2.1.4.2

Additionnez $4 v$ et $0$ .

$4 v$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $u$ .

$3 \int \frac{1}{4 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.7

Simplifiez

$\frac{3}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 v^{2} - 1$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $v$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |)) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |))$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $\ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)}{4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Associez.

$\frac{4 (3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |))}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |))}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)}{3} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)}{3} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.1.1.4.2

Divisez $\ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ par $1$ .

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $\frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |)) + \frac{4}{3} C$

Étape 5.2.2.1.2

Associez $\frac{4}{3}$ et $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4}{3} C$

Étape 5.2.2.1.3

Associez $\frac{4}{3}$ et $C$ .

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$ par $3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$ par $3$ .

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) \cdot 3 = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ .

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 \ln (| x |)}{3}$ dans le numérateur.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{- 4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{- 4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Étape 5.3.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - 4 \ln (| x |) + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - 4 \ln (| x |) + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Étape 5.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - 4 \ln (| x |) + 4 C$

Étape 5.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

Étape 5.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.1

Simplifiez $3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + 4 \ln (| x |)$ .

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Étape 5.5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.1.1

Simplifiez $3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

Étape 5.5.1.1.2

Simplifiez $4 \ln (| x |)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) + \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Étape 5.5.1.1.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) + \ln (x^{4}) = 4 C$

Étape 5.5.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3} x^{4}) = 4 C$

Étape 5.5.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3} x^{4})$ .

$\ln (x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) = 4 C$

Étape 5.6

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3})} = e^{4 C}$

Étape 5.7

Réécrivez $\ln (x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) = 4 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}$

Étape 5.8

Résolvez $v$ .

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Étape 5.8.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$ .

$x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$

Étape 5.8.2

Divisez chaque terme dans $x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$ par $x^{4}$ et simplifiez.

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Étape 5.8.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$ par $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Étape 5.8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 5.8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Étape 5.8.2.2.1.2

Divisez ${| 2 v^{2} - 1 |}^{3}$ par $1$ .

${| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Étape 5.8.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x^{4}}}$

Étape 5.8.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x^{4}}}$ .

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Étape 5.8.4.1

Réécrivez $\frac{e^{4 C}}{x^{4}}$ comme ${(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{4 C}}{x}$ .

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Étape 5.8.4.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{3}$ dans $e^{4 C}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{4}}}$

Étape 5.8.4.1.2

Factorisez la puissance parfaite $x^{3}$ dans $x^{4}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{3} x}}$

Étape 5.8.4.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{3} x}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{4 C}}{x}}$

Étape 5.8.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x}}$

Étape 5.8.4.3

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 5.8.4.4

Associez.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Étape 5.8.4.5

Multipliez $\sqrt[3]{e^{4 C}}$ par $1$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Étape 5.8.4.6

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 5.8.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.8.4.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 5.8.4.7.2

Déplacez $\sqrt[3]{x}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x (\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Étape 5.8.4.7.3

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x ({\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Étape 5.8.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Étape 5.8.4.7.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Étape 5.8.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 5.8.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.8.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.8.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.8.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.8.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.8.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{1}}$

Étape 5.8.4.7.6.5

Simplifiez

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x}$

Étape 5.8.4.8

Multipliez $x$ par $x$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{2}}$

Étape 5.8.4.9

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 5.8.4.10

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C} x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 5.8.4.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C} x^{2}}}{x^{2}}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}$

Étape 5.8.5

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 v^{2} - 1 = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}$

Étape 5.8.6

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1$

Étape 5.8.7

Divisez chaque terme dans $2 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.8.7.1

Divisez chaque terme dans $2 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1$ par $2$ .

$\frac{2 v^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.8.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.8.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 v^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.8.7.2.1.2

Divisez $v^{2}$ par $1$ .

$v^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.8.8

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 5.8.9

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.8.9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}{2}}$

Étape 5.8.9.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.8.9.3

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.8.9.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.8.9.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.8.9.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 5.8.9.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 5.8.9.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.8.9.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.8.9.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.8.9.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.8.9.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.8.9.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.8.9.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.8.9.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.8.9.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 5.8.9.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.8.9.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1) \cdot 2}}{2}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} + 1) \cdot 2}}{2}$