Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - \frac{4}{x} y = 0$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{4}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Étape 1.2

Intégrez $- \frac{4}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Étape 1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 1.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 1.2.5

Simplifiez

$e^{- 4 \ln (| x |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 4 \ln (x)}$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 4})}$

Étape 1.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 4}$

Étape 1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{x^{4}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} (\frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot 0$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{4}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x} = \frac{1}{x^{4}} \cdot 0$

Étape 2.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Multipliez $\frac{4 y}{x}$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x \cdot x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot 0$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1} x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot 0$

Étape 2.2.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1 + 4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot 0$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{1}{x^{4}}$ par $0$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = 0$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] = 0$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] d x = \int 0 d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{4}} y = \int 0 d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = 0 + C$

Étape 6.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = C$

Étape 7

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Associez $\frac{1}{x^{4}}$ et $y$ .

$\frac{y}{x^{4}} = C$

Étape 7.2

Multipliez les deux côtés par $x^{4}$ .

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = C x^{4}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = C x^{4}$

Étape 7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = C x^{4}$