Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{2} - 6}{x^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{9 x^{2} - 6}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{9 x^{2} - 6}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{9 x^{2} - 6}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (9 x^{2} - 6) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int (9 x^{2} - 6) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (9 x^{2} - 6) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.2

Multipliez $(9 x^{2} - 6) x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} x^{- 2} - 6 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = \int 9 (x^{- 2} x^{2}) - 6 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int 9 x^{- 2 + 2} - 6 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.1.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$y + C_{1} = \int 9 x^{0} - 6 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez $9 x^{0}$ .

$y + C_{1} = \int 9 - 6 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 9 d x + \int - 6 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 9 x + C_{2} + \int - 6 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 9 x + C_{2} - 6 \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 9 x + C_{2} - 6 (- x^{- 1} + C_{3})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Simplifiez

$y + C_{1} = 9 x - 6 (- \frac{1}{x}) + C_{4}$

Étape 2.3.8.2

Simplifiez

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Étape 2.3.8.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$y + C_{1} = 9 x + 6 \frac{1}{x} + C_{4}$

Étape 2.3.8.2.2

Associez $6$ et $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = 9 x + \frac{6}{x} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 9 x + \frac{6}{x} + K$