Calcul infinitésimal Exemples

$(x + \sin (y) - \cos (y)) d x + x (\sin (y) + \cos (y)) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x + \sin (y) - \cos (y)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + \sin (y) - \cos (y)]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sin (y) - \cos (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$

Étape 1.2.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$

Étape 1.3

La dérivée de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- \cos (y)]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- \cos (y)$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [\cos (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) - \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Étape 1.4.2

La dérivée de $\cos (y)$ par rapport à $y$ est $- \sin (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) - - \sin (y)$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) + 1 \sin (y)$

Étape 1.4.4

Multipliez $\sin (y)$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) + \sin (y)$

Étape 1.5

Additionnez $0$ et $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \sin (y)$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x (\sin (y) + \cos (y))$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (\sin (y) + \cos (y))]$

Étape 2.2

Comme $\sin (y) + \cos (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x (\sin (y) + \cos (y))$ par rapport à $x$ est $(\sin (y) + \cos (y)) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (\sin (y) + \cos (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (\sin (y) + \cos (y)) \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $\sin (y) + \cos (y)$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \sin (y) + \cos (y)$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\cos (y) + \sin (y)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\sin (y) + \cos (y)$ .

$\cos (y) + \sin (y) = \sin (y) + \cos (y)$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos (y) + \sin (y) = \sin (y) + \cos (y)$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (\sin (y) + \cos (y)) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = x (\sin (y) + \cos (y))$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , placez $x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x \int \sin (y) + \cos (y) d y$

Étape 5.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = x (\int \sin (y) d y + \int \cos (y) d y)$

Étape 5.3

L’intégrale de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $- \cos (y)$ .

$f (x, y) = x (- \cos (y) + C + \int \cos (y) d y)$

Étape 5.4

L’intégrale de $\cos (y)$ par rapport à $y$ est $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x (- \cos (y) + C + \sin (y) + C)$

Étape 5.5

Simplifiez

$f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + \sin (y) - \cos (y)$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y))] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y))] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y))]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $- \cos (y) + \sin (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x (- \cos (y) + \sin (y))$ par rapport à $x$ est $(- \cos (y) + \sin (y)) \frac{d}{d x} [x]$ .

$(- \cos (y) + \sin (y)) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(- \cos (y) + \sin (y)) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Étape 8.3.3

Multipliez $- \cos (y) + \sin (y)$ par $1$ .

$- \cos (y) + \sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- \cos (y) + \sin (y) + \frac{d g}{d x} = x + \sin (y) - \cos (y)$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - \cos (y) + \sin (y) = x + \sin (y) - \cos (y)$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Ajoutez $\cos (y)$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = x + \sin (y) - \cos (y) + \cos (y)$

Étape 9.1.2

Soustrayez $\sin (y)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x + \sin (y) - \cos (y) + \cos (y) - \sin (y)$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $x + \sin (y) - \cos (y) + \cos (y) - \sin (y)$ .

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Étape 9.1.3.1

Additionnez $- \cos (y)$ et $\cos (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + \sin (y) + 0 - \sin (y)$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $x + \sin (y)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + \sin (y) - \sin (y)$

Étape 9.1.3.3

Soustrayez $\sin (y)$ de $\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Étape 10

Déterminez la primitive de $x$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Étape 10.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)$ .

$f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = x (- \cos (y)) + x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x, y) = - x \cos (y) + x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = - x \cos (y) + x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$