Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d N}{d t} + N = N t e^{t}$ , $N (0) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Soustrayez $N$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d N}{d t} = N t e^{t} - N$

Étape 1.2

Factorisez $N$ à partir de $N t e^{t} - N$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $N$ à partir de $N t e^{t}$ .

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t}) - N$

Étape 1.2.2

Factorisez $N$ à partir de $- N$ .

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t}) + N \cdot - 1$

Étape 1.2.3

Factorisez $N$ à partir de $N (t e^{t}) + N \cdot - 1$ .

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t} - 1)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N (t e^{t} - 1))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $N$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N (t e^{t} - 1))$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = t e^{t} - 1$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{N} d N = (t e^{t} - 1) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{N} d N = \int t e^{t} - 1 d t$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{N}$ par rapport à $N$ est $\ln (| N |)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = \int t e^{t} - 1 d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| N |) + C_{1} = \int t e^{t} d t + \int - 1 d t$

Étape 2.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{t}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t + \int - 1 d t$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $e^{t}$ par rapport à $t$ est $e^{t}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2}) + \int - 1 d t$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2}) - t + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - e^{t} - t + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| N |) + C_{1} = e^{t} t - t - e^{t} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| N |) = e^{t} t - t - e^{t} + C$

Étape 3

Résolvez $N$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $N$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| N |)} = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| N |) = e^{t} t - t - e^{t} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{e^{t} t - t - e^{t} + C} = | N |$

Étape 3.3

Résolvez $N$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| N | = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$ .

$| N | = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$

Étape 3.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$ .

$| N | = e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$N = \pm e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$ comme $e^{t e^{t} - t - e^{t}} e^{C}$ .

$N = \pm e^{t e^{t} - t - e^{t}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ et $e^{C}$ .

$N = \pm e^{C} e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $t$ par $0$ et $N$ par $1$ dans $N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ .

$1 = C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}}$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}} = 1$ .

$C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}} = 1$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$C e^{0 \cdot 1 + 0 - e^{0}} = 1$

Étape 6.2.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$C e^{0 + 0 - e^{0}} = 1$

Étape 6.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$C e^{0 + 0 - 1 \cdot 1} = 1$

Étape 6.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$C e^{0 + 0 - 1} = 1$

Étape 6.2.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$C e^{0 - 1} = 1$

Étape 6.2.6

Soustrayez $1$ de $0$ .

$C e^{- 1} = 1$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $C e^{- 1} = 1$ par $e^{- 1}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $C e^{- 1} = 1$ par $e^{- 1}$ .

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 1}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Placez $e^{- 1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e$

Étape 7

Remplacez $C$ par $e$ dans $N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $e$ .

$N = e e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Étape 7.2

Multipliez $e$ par $e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ .

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Étape 7.2.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$N = e^{1} e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Étape 7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$N = e^{1 + t e^{t} - t - e^{t}}$