Calcul infinitésimal Exemples

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y = \ln (t)$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $(t + 1) y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t + 1$ et $g (t) = y$ .

$(t + 1) \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t + 1]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d t} [y]$ comme $y'$ .

$(t + 1) y' + y \frac{d}{d t} [t + 1]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t + 1) y' + y (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(t + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 1.5

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(t + 1) y' + y (1 + 0)$

Étape 1.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$(t + 1) y' + y \cdot 1$

Étape 1.7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

Étape 1.8

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

Étape 1.9

Multipliez $y$ par $1$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [(t + 1) y] = \ln (t)$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [(t + 1) y] d t = \int \ln (t) d t$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$(t + 1) y = \int \ln (t) d t$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (t)$ et $d v = 1$ .

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Associez $t$ et $\frac{1}{t}$ .

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t$

Étape 5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int d t$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$(t + 1) y = \ln (t) t - (t + C)$

Étape 5.4

Simplifiez

$(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$ par $t + 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$ par $t + 1$ .

$\frac{(t + 1) y}{t + 1} = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $t + 1$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(t + 1) y}{t + 1} = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\ln (t) t}{t + 1} - \frac{t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Étape 6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\ln (t) t - t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Étape 6.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\ln (t) t - t + C}{t + 1}$

Étape 6.3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (t) t - t + C$ .

$y = \frac{t \ln (t) - t + C}{t + 1}$