Calcul infinitésimal Exemples

$x d y + (y - 1) d x = 0$

Étape 1

Soustrayez $(y - 1) d x$ des deux côtés de l’équation.

$x d y = - (y - 1) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x (y - 1)}$ .

$\frac{1}{x (y - 1)} x d y = \frac{1}{x (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x (y - 1)} x d y = \frac{1}{x (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x (y - 1)} (y - 1) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x (y - 1)}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x (y - 1)} (y - 1) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y - 1$ à partir de $x (y - 1)$ .

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x} (y - 1) d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x} (y - 1) d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u = y - 1$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u = y - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 4.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 4.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 4.2.1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y - 1 |) + \ln (| x |) = C$

Étape 5.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y - 1 | | x |) = C$

Étape 5.3

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (y - 1) x |) = C$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y x - 1 x |) = C$

Étape 5.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\ln (| y x - x |) = C$

Étape 5.6

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y x - x |)} = e^{C}$

Étape 5.7

Réécrivez $\ln (| y x - x |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x - x |$

Étape 5.8

Résolvez $y$ .

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Étape 5.8.1

Réécrivez l’équation comme $| y x - x | = e^{C}$ .

$| y x - x | = e^{C}$

Étape 5.8.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y x - x = \pm e^{C}$

Étape 5.8.3

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x = \pm e^{C} + x$

Étape 5.8.4

Divisez chaque terme dans $y x = \pm e^{C} + x$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 5.8.4.1

Divisez chaque terme dans $y x = \pm e^{C} + x$ par $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Étape 5.8.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Étape 5.8.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Étape 5.8.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.8.4.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.8.4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Étape 5.8.4.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + 1$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C}{x} + 1$