Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 1.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Étape 1.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$x y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 5.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x y = \int x^{- 2} d x$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$x y = - x^{- 1} + C$

Étape 5.3

Réécrivez $- x^{- 1} + C$ comme $- \frac{1}{x} + C$ .

$x y = - \frac{1}{x} + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $x y = - \frac{1}{x} + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $x y = - \frac{1}{x} + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 6.3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x \cdot x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x^{1}} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{1}{x^{1 + 1}} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x}$