Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos^{3} (x)) y = 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos^{3} (x) = 1$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $y \cos^{3} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos^{3} (x)) = 1$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $\cos^{3} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$

Étape 1.4

Divisez chaque terme dans $\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$ par $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 1.6.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun à $\cos^{3} (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $\cos^{3} (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.2.1

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) (\sin (x))} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x) y}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 1.8

Factorisez $y$ à partir de $\frac{\cos (x) y}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 1.9

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 2.2.1

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$e^{\int \cot (x) d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sin (x)$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\sin (x)$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 3.2.2

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez $\sin (x) (\cot (x) y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 3.2.2.3

Annulez les facteurs communs.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 3.6

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$

Étape 3.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sec^{2} (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\sin (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 7

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$\sin (x) y = \tan (x) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $\sin (x) y = \tan (x) + C$ par $\sin (x)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $\sin (x) y = \tan (x) + C$ par $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.3.1.2

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ comme un produit.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.3.1.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.2.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$y = \sec (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.3.2.2

Séparez les fractions.

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 8.3.2.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Étape 8.3.2.4

Divisez $C$ par $1$ .

$y = \sec (x) + C \csc (x)$