Calcul infinitésimal Exemples

$6 x y d x + (4 y + 9 x^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 6 x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x y]$

Étape 1.2

Comme $6 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $6 x y$ par rapport à $y$ est $6 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x \cdot 1$

Étape 1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 4 y + 9 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y + 9 x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 y + 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 9 (2 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 18 x$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $18 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 18 x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $6 x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $18 x$ .

$6 x = 18 x$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$6 x = 18 x$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $18 x$ .

$\frac{18 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $6 x$ .

$\frac{18 x - (6 x)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $6 x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $6 x y$ .

$\frac{18 x - (6 x)}{6 x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $18 x - 1 \cdot 6 x$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $18 x$ .

$\frac{x \cdot 18 - 1 \cdot 6 x}{6 x y}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 1 \cdot 6 x$ .

$\frac{x \cdot 18 + x (- 1 \cdot 6)}{6 x y}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 18 + x (- 1 \cdot 6)$ .

$\frac{x (18 - 1 \cdot 6)}{6 x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{x (18 - 6)}{6 x y}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $6$ de $18$ .

$\frac{x \cdot 12}{6 x y}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 12}{6 x y}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{6 y}$

Étape 4.3.4

Remplacez $M$ par $6 x y$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6 y}$

Étape 4.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 y$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6 (y)}$

Étape 4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cdot 2}{6 y}$

Étape 4.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Étape 5.4.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $6 x y d x + (4 y + 9 x^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $y^{2}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $6 x y$ par $y^{2}$ .

$6 x y \cdot y^{2} d x + (4 y + 9 x^{2}) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$6 x (y^{2} y) d x + (4 y + 9 x^{2}) d y = 0$

Étape 6.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 6.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$6 x (y^{2} y^{1}) d x + (4 y + 9 x^{2}) d y = 0$

Étape 6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x y^{2 + 1} d x + (4 y + 9 x^{2}) d y = 0$

Étape 6.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$6 x y^{3} d x + (4 y + 9 x^{2}) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $4 y + 9 x^{2}$ par $y^{2}$ .

$6 x y^{3} d x + (4 y + 9 x^{2}) y^{2} d y = 0$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$6 x y^{3} d x + (4 y \cdot y^{2} + 9 x^{2} y^{2}) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $y^{2}$ .

$6 x y^{3} d x + (4 (y^{2} y) + 9 x^{2} y^{2}) d y = 0$

Étape 6.5.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 6.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$6 x y^{3} d x + (4 (y^{2} y^{1}) + 9 x^{2} y^{2}) d y = 0$

Étape 6.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x y^{3} d x + (4 y^{2 + 1} + 9 x^{2} y^{2}) d y = 0$

Étape 6.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$6 x y^{3} d x + (4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 6 x y^{3} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = 6 x y^{3}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $6 y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $6 y^{3}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 6 y^{3} \int x d x$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 6 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $6 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $6 y^{3} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 6 y^{3} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} \frac{6}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Associez $y^{3}$ et $\frac{6}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} \cdot 6}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.3

Déplacez $6$ à gauche de $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{6 \cdot y^{3}}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.4

Multipliez $6$ par $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{6 y^{3}}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 8.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6 y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (3 y^{3})}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (3 y^{3})}{2 (1)} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2 (3 y^{3})}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{3 y^{3}}{1} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.5.2.4

Divisez $3 y^{3}$ par $1$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} x^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} x^{2} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{3} x^{2} + g (y)] = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y^{3} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y^{3} x^{2}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y^{3} x^{2}$ par rapport à $y$ est $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Étape 11.3.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$9 x^{2} y^{2} + \frac{d g}{d y} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 9 x^{2} y^{2} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $9 x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2} - 9 x^{2} y^{2}$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2} - 9 x^{2} y^{2}$ .

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Étape 12.1.2.1

Soustrayez $9 x^{2} y^{2}$ de $9 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3} + 0$

Étape 12.1.2.2

Additionnez $4 y^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $4 y^{3}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{3} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{3} d y$

Étape 13.3

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 4 \int y^{3} d y$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Étape 13.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.5.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ comme $4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Étape 13.5.2

Simplifiez

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Étape 13.5.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

Étape 13.5.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

Étape 13.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (y) = 1 y^{4} + C$

Étape 13.5.2.3

Multipliez $y^{4}$ par $1$ .

$g (y) = y^{4} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = 3 y^{3} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} x^{2} + y^{4} + C$