Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{x}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{y^{3}}{x}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{3}}{y^{3} x}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{3}}{y^{3} x}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 3}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 y^{2}, 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 y^{2}$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{2 y^{2}} = \ln (| x |) + C$ par $2 y^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{2 y^{2}} = \ln (| x |) + C$ par $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \ln (| x |) (2 y^{2}) + C (2 y^{2})$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 y^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \ln (| x |) (2 y^{2}) + C (2 y^{2})$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \ln (| x |) (2 y^{2}) + C (2 y^{2})$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = \ln (| x |) (2 y^{2}) + C (2 y^{2})$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 = 2 \ln (| x |) y^{2} + C (2 y^{2})$

Étape 3.2.3.1.2

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- 1 = \ln ({| x |}^{2}) y^{2} + C (2 y^{2})$

Étape 3.2.3.1.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$- 1 = \ln (x^{2}) y^{2} + C (2 y^{2})$

Étape 3.2.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 = \ln (x^{2}) y^{2} + 2 C y^{2}$

Étape 3.2.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x^{2}) y^{2} + 2 C y^{2}$ .

$- 1 = y^{2} \ln (x^{2}) + 2 C y^{2}$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} \ln (x^{2}) + 2 C y^{2} = - 1$ .

$y^{2} \ln (x^{2}) + 2 C y^{2} = - 1$

Étape 3.3.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \ln (x^{2}) + 2 C y^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $2 C y^{2}$ .

$y^{2} \ln (x^{2}) + y^{2} (2 C) = - 1$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \ln (x^{2}) + y^{2} (2 C)$ .

$y^{2} (\ln (x^{2}) + 2 C) = - 1$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $y^{2} (\ln (x^{2}) + 2 C) = - 1$ par $\ln (x^{2}) + 2 C$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} (\ln (x^{2}) + 2 C) = - 1$ par $\ln (x^{2}) + 2 C$ .

$\frac{y^{2} (\ln (x^{2}) + 2 C)}{\ln (x^{2}) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (x^{2}) + 2 C$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (\ln (x^{2}) + 2 C)}{\ln (x^{2}) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{1}{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 3.3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{\ln (x^{2}) + 2 C}}$

Étape 3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\ln (x^{2}) + 2 C}}$

Étape 3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (x^{2}) + 2 C}}$

Étape 3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\ln (x^{2}) + 2 C}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (x^{2}) + 2 C}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{\ln (x^{2}) + 2 C}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (x^{2}) + 2 C}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{\ln (x^{2}) + 2 C}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (x^{2}) + 2 C}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{\ln (x^{2}) + 2 C}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (x^{2}) + 2 C}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\ln (x^{2}) + C}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (x^{2}) + C}}$