Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \cos (2 x)$ , $y (\frac{π}{2}) = 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \cos (2 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \cos (2 x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \cos (2 x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (u) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (2 x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (2 x) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $\frac{π}{2}$ et $y$ par $3$ dans $y = \frac{1}{2} \sin (2 x) + K$ .

$3 = \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π}{2}) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2})) + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2})) + K = 3$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2})) + K$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \sin (2 \frac{π}{2}) + K = 3$

Étape 4.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \sin (π) + K = 3$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{2} \cdot \sin (0) + K = 3$

Étape 4.2.1.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 + K = 3$

Étape 4.2.1.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$0 + K = 3$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = 3$

Étape 5

Remplacez $K$ par $3$ dans $y = \frac{1}{2} \sin (2 x) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $3$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (2 x) + 3$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$y = \frac{\sin (2 x)}{2} + 3$